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电磁感应中的斜面问题
一、单项选择题
e
B
θ
a
b
d
c
f
M
h
g
1． 如图,光滑斜面的倾角为,斜面上放置一矩形导体线框，边的边长为,边的边长为,线框的质量为,电阻为，线框通过绝缘细线绕过光滑的滑轮与重物相连,重物质量为，斜面上线（平行底边)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的边始终平行底边，则下列说法正确的是( )
B。线框进入磁场时匀速运动的速度为
答案： D
2． 一质量为m、电阻为r的金属杆ab以一定的初速度v0从一光滑的平行金属导轨底端向上滑行，导轨平面与水平面成30°角，两导轨上端用一电阻R相连，如图所示，磁场垂直斜面向上,导轨的电阻不计，金属杆向上滑行到某一高度之后又返回到底端时的速度大小为v，则（ )
A。向上滑行的时间等于向下滑行的时间
B。向上滑行时电阻R上产生的热量小于向下滑行时电阻R上产生的热量
，电阻R上产生的热量为
答案： C
解析： 金属杆沿斜面向上运动时安培力沿斜面向下，沿斜面向下运动时安培力沿斜面向上，所以上升过程的加速度大于下滑过程的加速度，因此向上滑行的时间小于向下滑行的时间，A错；向上滑行过程的平均速度大,感应电流大,安培力做的功多，R上产生的热量多，B错；由q=知C对；由能量守恒定律知回路中产生的总热量为，D错。
3． 一个边长为L的正方形导线框在倾角为θ的光滑固定斜面上由静止开始沿斜面下滑，随后进入虚线下方方向垂直于斜面的匀强磁场中．如图所示，磁场的上边界线水平,线框的下边ab边始终水平，斜面以及下方的磁场往下方延伸到足够远．下列推理判断正确的是（ )
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A．线框进入磁场过程b点的电势比a点高
B．线框进入磁场过程一定是减速运动
C．线框中产生的焦耳热一定等于线框减少的机械能
D．线框从不同高度下滑时，进入磁场过程中通过线框导线横截面的电荷量不同
答案： C
解析： ab边进入磁场后,切割磁感线，ab相当于电源，由右手定则可知a为等效电源的正极,a点电势高,A项错．由于线框所受重力的分力mgsin θ与安培力大小不能确定，所以不能确定其是减速还是加速,B项错；由能量守恒知C项对;由q＝n知,q与线框下降的高度无关，D项错．
 
 
θ
θ
B
R
F
4． 如图所示，两根光滑的金属导轨,平行放置在倾角为的斜面上，导轨的左端接有电阻R,,金属棒与两导轨垂直且接触良好，在沿着斜面向上且与棒垂直的拉力F作用下，金属棒沿导轨匀速上滑，则下列说法正确的是( )
A。拉力做的功等于棒的机械能的增量
C。拉力与棒受到的磁场力的合力为零
D。拉力对棒做的功与棒重力做的功之差等于回路中产生的电能
答案： B
二、多项选择题
5． 如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R,导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab质量为m，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F的作用．金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑高度h的过程中，以下说法正确的是( ）
A．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B．重力做的功等于系统产生的电能
C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
D．金属棒克服恒力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案： AC
解析: 根据动能定理，合力做的功等于动能的增量，故A对;重力做的功等于重力势能的减少，重力做的功等于克服F所做的功与产生的电能之和，而克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，所以B、D错,C对．
6． 如图所示，倾角为的平行金属导轨宽为，导轨电阻不计，底端与阻值为R的定值电阻相连，磁感强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一质量为m、电阻为R的导体棒从位置以初速度v沿斜面向上运动,最远到达的位置,。则
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B。上滑过程中安培力、滑动摩擦力对导体棒做的总功为
C。上滑过程中电流做功产生的热量为
D。上滑过程中导体棒损失的机械能为
答案: CD
7． 在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场,区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下,磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框,由静止开始沿斜面下滑,t1时 ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区,此时线框恰好以速度 v1做匀速直线运动;t2时ab边下滑到JP与MN的中间位置，此时线框又恰好以速度v2做匀速直线运动。重力加速度为g，下列说法中正确的有( )
A。t1时，线框具有加速度a=3gsinθ
B。线框两次匀速直线运动的速度v1: v2=2:1
，线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量。
D。从t1到t2,有机械能转化为电能。
答案： AD
8． 在倾角为θ足够长的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场,磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下,宽度均为L,、电阻为R、边长也为L的正方形线框在t=0时刻以速度v0进入磁场,,线框ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是（ )
′时,线框加速度的大小为2gsinq
B。t0时刻线框匀速运动的速度为
D。离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动
答案： BC
9． 如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向上．质量为
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m、电阻可以不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑,并上升h高度，在这一过程中（ ）
A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和
C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案: AD
解析： 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对棒做功,恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动,沿斜面向下，做负功．匀速运动时,所受合力为零，故合力做功为零，A正确;克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于R上产生的焦耳热，故外力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确．
10．如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面．现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点,使其向上运动．若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能（ )
A．变为0 B．先减小后不变 C．等于F D．先增大再减小
答案： AB
解析： a导体棒在恒力F作用下加速运动，闭合回路中产生感应电流，导体棒b受到安培力方向应沿斜面向上，且逐渐增大．最后不变，所以b导体棒受摩擦力可能先减小后不变，可能减小到0保持不变，也可能减小到0然后反向增大最后保持不变．所以选项A、B正确,C、D错误．
三、计算题
11．将一个矩形金属线框折成直角框架abcdefa，置于倾角为α＝37°的斜面上，ab边与斜面的底线MN平行，如图所示,ab＝bc＝cd＝de＝ef＝fa＝ m，线框总电阻为R＝ Ω，ab边的质量为m＝ kg，其余各边的质量均忽略不计，框架可绕过c、f点的固定轴自由转动，现从t＝0时刻开始沿斜面向上加一随时间均匀增加的、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度与时间的关系为B＝ tT，磁场方向与cdef面垂直．（cos 37°＝0。8，sin 37°＝0。6）
（1）求线框中感应电流的大小,并指出ab段导线上感应电流的方向；
（2）t为何值时框架的ab边对斜面的压力恰为零；
（3)从t＝0开始到该时刻通过ab边的电荷量是多少．
答案： （1）1。0 A a→b （2） s （3） C
解析： （1)由题设条件可得E＝＝·＝0。02 V 所以感应电流I＝＝1。0 A
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根据楞次定律可判断，感应电流的方向从a→b。
(2）ab边所受的安培力为FB＝BI·＝0。1t
方向垂直于斜面向上，当框架的ab边对斜面的压力为零时，有FB＝mgcos 37° 由以上各式解得：t＝0。8 s。
(3）从t＝0开始到该时刻通过ab边的电量q＝It＝ C（或用q＝＝求解均可）
12．如图甲所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．用与导轨平行且向上的恒定拉力F作用在金属杆上，金属杆ab沿导轨向上运动,最终将做匀速运动．当改变拉力F的大小时,相对应的匀速运动速度v也会改变,v和F的关系如图乙所示．
（1）金属杆ab在匀速运动之前做什么运动？
（2)运动过程中金属杆ab受到的安培力的表达式？
（3）若m＝0。25kg，L＝,R＝0。5Ω，取重力加速度g＝10m/s2，试求磁感应强度B的大小及θ角的正弦值sinθ.
答案: （1）变速运动 （2） （3）1T，sinθ＝
解析： （1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动、加速运动）
（2）感应电动势E＝BLv
感应电流I＝
ab杆所受的安培力F安＝BIL＝
（3）F－mgsinθ－＝ma
当a＝0时，速度v达到最大且保持不变，杆做匀速运动．
v＝（F－mgsinθ）
结合v－F图象知：
斜率＝
横轴上截距mgsinθ＝2
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代入数据解得B＝1T,sinθ＝。
13．如图所示，间距l＝0。3 m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内．在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1＝ T、方向竖直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R＝0。3 Ω、质量m1＝0。1 kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点,K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2＝ kg的小环．已知小环以a＝6 m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g＝10 m/s2,sin 37°＝0。6，cos 37°＝0。：
（1）小环所受摩擦力的大小;
（2）Q杆所受拉力的瞬时功率．
答案: （1） N （2)2 W
解析: （1）设小环受到的摩擦力大小为Ff,由牛顿第二定律，有m2g－Ff＝m2a①
代入数据,得
Ff＝0。2 N②
（2)设通过K杆的电流为I1，K杆受力平衡，有
Ff＝B1I1l③
设回路总电流为I，总电阻为R总，有
I＝2I1④
R总＝R⑤
设Q杆下滑速度大小为v，产生的感应电动势为E，有
I＝⑥
E＝B2lv⑦
F＋m1g sin θ＝B2Il⑧
拉力的瞬时功率为
P＝Fv⑨
联立以上方程，代入数据得
P＝2 W
14．如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为
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θ,导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场,磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，ab与cd之间相距为L0金属杆甲、乙的阻值相同,质量均为m，甲杆在磁场区域的上边界ab处,乙杆在甲杆上方与甲相距L处，甲、乙两杆都与导轨垂直。静止释放两杆的同时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F，使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动，加速度大a=2gsinθ，甲离开磁场时撤去F，乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场。
（1）求每根金属杆的电阻R是多大？
（2）从释放金属杆开始计时，求外力F随时间t的变化关系式？并说明F的方向。
（3）若整个过程中,乙金属杆共产生热量Q，求外力F对甲金属杆做的功W是多少?
答案： （1) （2）F＝mgsin θ＋mgsin θ ·t（0≤t≤ ），方向垂直于杆平行于导轨向下 （3）2Q
解析: （1）设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1，乙从开始运动到ab位置的时间为t2，
则由运动学公式得
L＝·2gsin θ·t，L＝gsin θ·t
解得t1＝ ，t2＝ （1分）
因为t1〈t2,所以甲离开磁场时，乙还没有进入磁场。
设乙进入磁场时的速度为v1，乙中产生的感应电动势为E1，回路中的电流为I1，则
mv＝mgLsin θ（1分）
E1＝Bdv1(1分）
I1＝E1/2R（1分）
mgsin θ＝BI1d（1分）
解得R＝ （1分）
（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中产生的感应电动势为E，回路中的电流为I，外力为F，则
v＝at（1分）
E＝Bdv(1分)
I＝E/2R（1分）
F＋mgsin θ－BId＝ma（1分）
a＝2gsin θ
联立以上各式解得
F＝mgsin θ＋mgsin θ ·t(0≤t≤）
方向垂直于杆平行于导轨向下.
(3）甲在磁场运动过程中,乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v0，甲、乙产生的热量相同，均设为Q1，则
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v＝2aL（1分）
W＋mgLsin θ＝2Q1＋mv（2分)
解得W＝2Q1＋mgLsin θ
乙在磁场运动过程中，甲、乙产生相同的热量，均设为Q2,则2Q2＝mgLsin θ(2分）
根据题意有Q＝Q1＋Q2（1分）
解得W＝2Q（1分）
15．如图所示,足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge、hc,导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为m＝0。1 kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0。5 T．已知从t＝0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0。75＋0。2t （N）．（sin 37°＝，cos 37°＝0。8,g取10 m/s2）
（1）通过计算判断杆a的运动情况;
（2）从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；
(3）若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13。2 J,则这段时间内杆b上产生的热量为多少？
答案: （1)以4 m/s2的加速度做匀加速运动 （2)0。2 C （3）6 J
解析: (1）因为杆b静止，所以有
F2－B2IL＝mgtan 37°
而F2＝0。75＋0。2t(N）
解得I＝ （A）
整个电路中的电动势由杆a运动产生，故
E＝I（Ra＋Rb）
E＝B1Lv
解得v＝4t
所以，杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动．
（2）杆a在1 s内运动的距离d＝at2＝2 m
q＝Δt
＝
E＝＝
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q＝＝＝0。2 C
即1 C
(3）设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得
W1－Q＝mv
v1＝at＝8 m/s
解得Q＝10 J
从而Qb＝Q＝6 J
16．如图所示,两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距离为L。其电阻不计，两导轨及其构成的平面与水平面成θ角，两根用细线连接的金属杆ab、cd分别垂直导轨放置,平行斜面向上的外力F作用在杆ab上,使两杆静止，已知两金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，两金属杆的电阻都为R，并且和导轨始终保持良好接触，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。某时刻将细线烧断，保持杆ab静止不动，求：
(1)细线烧断后外力F的最小值和最大值；
(2）设细线烧断后cd杆到达最大速度前杆ab产生的电热为Q，求cd杆到达最大速度前经过的位移s。
答案： （1）mgsinθ 3mgsinθ （2）
解析: (1）细线烧断瞬间，外力F取得最小值F1,
研究杆ab：F1＝mgsinθ①
，
研究杆ab：F2＝mgsinθ＋F安②
研究cd杆，因其匀速运动，则F安′＝2mgsinθ③
显然F安＝F安′＝④
代入可得：F2＝3mgsinθ⑤
(2）两杆电阻相等，故产生电热相等。
cd杆到达最大速度前电路产生的总电热为2Q,
由能量守恒可知
2mgsinθ·s＝（2m）v＋2Q⑥
联立③④⑥得
s＝
17．如图，光滑斜面的倾角α＝30°,在斜面上放置一矩形线框abcd,ab边的边长l1＝1 m,bc边的边长l2＝0。6 m，线框的质量m＝1 kg，电阻R＝0。1 Ω,线框通过细线与重物相连，重物质量M＝2 kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度
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B＝ T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的,ef线和gh线的距离s＝11。4 m,(取g＝10。4 m/s2），求：
（1)线框进入磁场前重物M的加速度；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v;
(3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；
（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热．
答案： （1）5 m/s2 （2）6 m/s (3）2。5 s （4）9 J
解析: （1）线框进入磁场前,线框受到细线的拉力FT、斜面的支持力和线框重力，，由牛顿第二定律得FT－mgsinα＝ma，
联立解得线框进入磁场前重物M的加速度
a＝＝5 m/s2.
（2)因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡Mg＝FT′，
线框abcd受力平衡FT′＝mgsinα＋FA，
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E＝Bl1v，
形成的感应电流I＝＝,
受到的安培力FA＝BIl1，
联立上述各式得Mg＝mgsinα＋，
代入数据解得v＝6 m/s。
（3)线框abcd进入磁场前,做匀加速直线运动；进磁场的过程中,做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．
进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为a＝5 m/s2，
该阶段运动时间为t1＝＝ s＝ s，
进磁场过程中匀速运动时间t2＝＝ s＝0。1 s，
线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a＝5 m/s2，
s－l2＝vt3＋at，
解得t3＝1。2 s,
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为
t＝t1＋t2＋t3＝2。5 s.
（4)线框ab边运动到gh处的速度
v′＝v＋at3＝6 m/s＋5×1。2 m/s＝12 m/s，