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南平市2023—2024学年高二第二学期期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，，用橡皮擦干净后，，.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2已知随机变量，若，则（）
A. B. C. D.
3. “在上单调递增”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若，，则（）
A. 10 B. 20 C. 50 D. 100
5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）
X
0
1
P
n
A. 5 B. C. D.
6. 将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）
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A. B. C. D.
7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）
A72种 B. 42种 C. 114种 D. 36种
8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）
A. 4 B. C. 3 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则n的值可能为（）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
10. 已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）
A. 实数a的取值范围为
B. 当时，的取值范围为
C. 函数是周期函数
D. 函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
11. A是轮子（）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（）
A. 当时，点A恰好位于轮子的最高点
B.
C. 当时，点A距离地面的高度在下降
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D. 若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，若，则________．
13. 若，则________．
14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中，二项式系数和为64．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．
16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18
20
乙
8
合计
40
表2：
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
收益y（亿元）
7
8
（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：①，
②临界值表：
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α
③参考公式：，.
17. 已知函数，偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
19. 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．
（1）若关于T可线性分解，求，；
（2）若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．
南平市2023—2024学年第二学期高二期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，，用橡皮擦干净后，，.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用交集定义计算即可.
【详解】由已知可得.
故选：C.
2. 已知随机变量，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式计算得解.
【详解】随机变量，由，得，解得，
所以.
故选：B
3. “在上单调递增”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
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【解析】
【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，进而求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，得或，即函数在上单调递增，
而在上单调递增，于是，显然真包含于，
所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若，，则（）
A. 10 B. 20 C. 50 D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.
【详解】因为，又因为可得,
所以.
故选：B
5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）
X
0
1
P
n
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.
【详解】依题意，，解得，，
，而，
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所以.
故选：A
6. 将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数图象变换求出.
【详解】依题意，，因此.
故选：C
7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）
A. 72种 B. 42种 C. 114种 D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可.
【详解】5个不同小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，
共种，
将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，
根据分步乘法计数原理得：种.
故选：C.
8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）
A. 4 B. C. 3 D. 2
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【答案】D
【解析】
【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可.
【详解】设，．
，当且仅当取得等号.
，当且仅当取得等号.
两式相乘，即，则.
此时，前面都要成立，则，，则.
的最小值为2,当且仅当取得最小值.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则n的值可能为（）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】BC
【解析】
【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值.
【详解】依题意，，因此，
所以或.
故选：BC
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10. 已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）
A. 实数a的取值范围为
B. 当时，的取值范围为
C. 函数是周期函数
D. 函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
【答案】ACD
【解析】
【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D.
【详解】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数，
得，解得，A正确；
对于B，当时，，B错误；
对于C，显然，函数是周期函数，C正确；
对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，
由，得，即，
由，，得，又，
因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，
所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确.
故选：ACD
11. A是轮子（）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（）
A. 当时，点A恰好位于轮子的最高点
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B.
C. 当时，点A距离地面的高度在下降
D. 若，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为，
如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得
过点作垂直地面，过点作，
则，即，
对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，可得，所以B正确；
对于C中，当时，可得，
由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确；
对于D中，由，可得，
可得，所以，
令且，且，
则，且，
当时，可得的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
10 / 19