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2022级高二下学期6月月考
数学试题
满分：150分时间：120分钟
（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 设，则“”是“函数在上单调递增”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列说法中，正确的个数为（）
①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量服从正态分布，若，则；
④随机变量服从二项分布，若方差，则．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（）
A. B. C. 1 D. 2
5. 下列判断正确的是（）
A. 函数的最小值为2
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若对恒成立，则
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D. “”是“，不都是2”的充分条件
6. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
7. 已知由样本数据点集合，求得回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得回归直线的斜率为，则（）
A. 变量与具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为
C. 去除后的估计值增加速度变慢
D. 去除后相应于样本点的残差为
8. 若都有成立，则a的最大值为（）
A. B. 1 C. e D. 2e
（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝（例如10100），其中A的各位数中（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A. X服从二项分布 B.
C. X均值 D. X的方差
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球、表示事件“从甲罐取出球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（）
A. 、为对立事件 B.
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C. D.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 当时，曲线在点处的切线方程为
B. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是
C. 当时，既存在极大值又存在极小值
D. 当时，恰有3个零点，且
（共3小题，每小题5分，共15分）
12. ，满足且，则称为函数与的一个“点”. 已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.
13. 已知的展开式中的系数为，则实数的值为___________.
14. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则__________.
（本大题共5小题，、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，函数的定义域为集合．
（1）当时，求；
（2）设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
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17. 新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.
（1）从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表：
线上学习前成绩
120
110
100
90
80
线上学习后成绩
145
130
120
105
100
（1）求关于的线性回归方程；
参考公式：在线性回归方程，，
（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，，认为线上学习满意度与学生性别有关？
满意人数
不满意人数
合计
男生
女生
合计
参考公式和数据：，
18. 杭州亚运会三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
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19. 已知.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，，证明：.
泰安二中2022级高二下学期6月月考
数学试题
满分：150分时间：120分钟
（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的解法求得或和，结合集合的运算法则，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得或，
即或，
又由不等式，解得，即，
则，所以
故选：B.
2. 设，则“”是“函数在上单调递增”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
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故选：A
3. 下列说法中，正确的个数为（）
①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量服从正态分布，若，则；
④随机变量服从二项分布，若方差，则．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确；
用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确；
已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确；
若随机变量服从二项分布，则方差，所以，
所以，所以或，故④错误.
故选：C.
4. 一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.
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【详解】由题可知，，解得，
X的可能取值为，
，，，，
∴.
故选：A
5. 下列判断正确的是（）
A. 函数的最小值为2
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若对恒成立，则
D. “”是“，不都是2”的充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断A；根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断B；举出反例，如当时，恒成立，即可判断C；根据充分条件的定义即可判断D.
【详解】解：对于选项A：令，则时，显然命题为假命题；
对于选项B：命题“，”的否定是“，”，则题中的命题为假命题；
对于选项C，当时，恒成立，所以选项C错误；
对于选项D，“”能够推出“，不都是2”所以该命题是真命题．
故选D．
6. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
【答案】C
【解析】
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【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
7. 已知由样本数据点集合，求得回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则（）
A. 变量与具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为
C. 去除后的估计值增加速度变慢
D. 去除后相应于样本点的残差为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据回归直线一定经过样本中心点，及残差概念等来逐项判断.
【详解】对于A选项，因为回归直线方程为，，；
对于B选项，当时，，样本中心点为，去掉两个数据点和后，样本中心点还是，又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故B正确；
对于C选项，因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故C正确；
对于D选项，因为，所以，故D错误.
故选：ABC.
8. 若都有成立，则a的最大值为（）
A. B. 1 C. e D. 2e
【答案】B
【解析】
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【分析】原不等式可转化为，令，利用导数可得在上单调递增，又由题意可得函数在上单调递增，从而即可得的最大值.
【详解】解：原不等式可转化为，令，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.
由于都有，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以a的最大值为1.
故选：B.
（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝（例如10100），其中A的各位数中（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A. X服从二项分布 B.
C. X的均值 D. X的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别写出的可能取值，并计算其概率，推导出，再根据二项分布的性质求出结果即可．
【详解】由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有5类：
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