浙江省2024届高三数学下学期3月第二次联考试题二模.pdf

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保密★考试结束前
2023 学年高三第二次联考
数学试题
120 分钟，试卷总分为 150 ､写在
答题纸上.
选择题部分
一､选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 ，只有一项是符合题目要求的.
A0,1,2 B {x| x  3k 1,k N} A B 
，，则（）
0,1,2 1,2 1 2
A. B. C. D.
z  2z  3 2i z
z 满足： ，则为（）
B. 2
f x ln ex 1  ax
  为偶函数，则实数a 的值为（）
1 1

A. 2
x2 y2
 1
a a 1 的离心率e 的可能取值为（）
5
A. 2
ABC 中，“ A，B，C 成等差数列且sin A,sin B,sinC 成等比数列”是“ ABC 是正三角形”的（）


C : x2  2y C C C
1 的焦点为F，以 F 为圆心的圆 2 交1于A，B，交 1的准线于C，D，若四边形 ABCD
是矩形，则圆C2 的方程为（）
2 2
2  1 2  1
x  y    3 x  y    4
A.  2 B. 2
x2  (y 1)2 12 x2  (y 1)2 16
C. D.
1
 x 1,x  0,
2

f (x)  2
ln x,x  0,

 若f (x1)  f (x2)(x1  x2) ，则x2  x1的取值范围为（）
1 / 8 : .
[e,) [4 2ln2,) 4 2ln2,e [e 1,)
A. B. C. D.
D  ABC 中，底面是边长为2 的正三角形，若 AD 为三棱锥 D  ABC 的外接球直径，且AC 与 BD
21
所成角的余弦值为 7 ，则该外接球的表面积为（）
19 28
π π

二､多选题：本题共3 小题，每小题 6 分，共 18 ，有多项符合题目要求，全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
f x 2sin xcosx  2 3cos2 x
，下列说法正确的是（）
 π 
 , 3
2π  6  中心对称
 5π π 
 , 
3  2  12 12 上单调递减
f x f x xR xf x x 1f x
R 上的函数 的导函数为，若，均有，则（）
f 0 0 f "2 0 f "x f x
A. B.（ 为的二阶导数）
f 2 2 f 1 x  1 f x
C. 的极大值点
ABCD  A1B1C1D1，的棱长为1，点 P 是正方形 A1B1C1D1 上的一个动点，初始位置位于点A1处，
1 1
4 ，向对角顶点移动的概率为2 ，如当点P
1 1
在点 A1处时，向点B1，D1移动的概率均为4 ，向点C1移动的概率为2 ，则（）
3
PC  3 8
，“ ”的概率为
1
nN* BDC 3
，移动n 次后，“ PA ∥平面 1”的概率都小于
1
nN* BDC1 2
，移动n 次后，“ PC⊥平面 ”的概率都小于
1
* EV 
nN ，移动n 次后，四面体 P  BDC1体积V 的数学期望 5
（注：当点 P 在平面 BDC1上时，四面体P  BDC1体积为0）
非选择题部分
三､填空题：本题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.
A､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2 个班级某天上午的 5 节课进行排课，2 节
2 / 8 : .
语文课，2 节数学课，1 节英语课，要求每个班级的 2 节语文课连在一起，2 节数学课连在一起，则共有
__________种不同的排课方式.（用数字作答）
n 
  PAk 1
n 边形的边长为 1，顶点依次为 A1,A2,,An ，若存在点P 满足 PA1 PA2  0，且k1 ，则n 的
最大值为__________.（参考数据： tan36  ）
四､解答题：本大题共5 小题，共 77 ､ 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
a  S 2S  2a  n2 1
已知等差数列 n 的前n 项和为 n ，且n n .
（1）求 an；
 1 
 
anan1  Tn
（2）求数列 的前n 项和 .
16.（本小题满分 15 分）
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAD 平面
 
ABCD， PA  PD  5 ，点E 是线段 AD 的中点，CM  2MP .
（1）证明： PE ∥平面BDM；
（2）求平面 AMB 与平面 BDM 的夹角.
17.（本小题满分 15 分）.
某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82 为次品，现抽取这
种元件 100 件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标 20,76 76,82 82,88 88,94 94,100
         
元件数（件）12 18 36 30 4
（1）现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
2
E X   D X 2 Px      2
若随机变量 X 具有数学期望   ，方差  ，则对任意正数 ，均有 成立.
 1  1
X ~ B100,  P(0  X  25) 
（i）若  2，证明：50 ；
（ii）利用该结论表示即使分布未知， 90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的
3 / 8 : .
合格率是否可信？（注：当随机事件 A 发生的概率小于 时，可称事件 A 为小概率事件）
18.（本小题满分 17 分）
x2 y2
L: 2  2 1(a  b  0)| A 3,0
已知椭圆 a b 的左项点 和下顶点B，焦距为4 2 ，直线l 交椭圆 L 于 C，D（不同
于椭圆的顶点）两点，直线 AD 交 y 轴于 M，直线 BC 交 x 轴于 N，且直线 MN 交 l 于 P.
（1）求椭圆 L 的标准方程；
（2）若直线 AD，BC 的斜率相等，证明：点 P 在一条定直线上运动.
19.（本小题满分 17 分）
f x gx
①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数 ，的导函
f x gx lim f (x)  limg(x)  0
数分别为，，且xa xa ，则
f (x) f (x)
lim  lim 
xa g(x) xa g (x)
.
 x 
f x f  
a  0 f x x0,a  k 
②设 ，k 是大于 1 的正整数，若函数 满足：对任意，均有成立，且
lim f x 0 f x 0,a
x0 ，则称函数为区间上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
f x  x3 3x 0,3
（1）试判断   是否为区间 上的2 阶无穷递降函数；
1
lim(1 x)x
（2）计算： x0 ；
3
 sin x   3 
   cosx xπ, π
（3）证明：  x  π  ， 2  .
数学参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 ，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A A C B B A
二､多选题：本题共3 小题，每小题 6 分，共 18 ，有多项符合题目要求，全部选对
4 / 8 : .
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BC AB ACD
三､填空题：本题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分
π
四､解答题：本大题共5 小题，共 77 ､ 证明过程或演算步骤.
2S  2a  n2 1
1