文档介绍：基本不等式典型例题精讲精析
[例1]设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,求证:
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【证法一】依题意,{an}的首项a1>0,公比q>0,故0<Sn<Sn+1<Sn+2,
∵qSnSn+2=qSn(a1+qSn+1)<a1qSn+1+q2SnSn+1=qSn+1(a1+qSn)=qSn+12,
∴SnSn+2<Sn+12,∴<lgSn+1.
【证法二】依题意首项a1>0,Sn+1>Sn,故SnSn+2-Sn+12=Sn(a1+qSn+1)-Sn+1(a1+qSn)=a1(Sn-Sn+1)<0.
∴SnSn+2<Sn+12, ∴<lgSn+1.
【点评】利用对数函数的性质,将该问题等价转化为证明SnSn+2<Sn+12.
[例2]设a∈R,解下列关于x的不等式|1-|<a.
【解法一】当a≤0时,原不等式的解集为,当a>0时, <a即(x-1)2<(a2-1)x2+2x-1>0
①当a>1时,原不等式可化为[(a+1)x-1][(a-1)x+1]>0
∴原不等式的解集为{x|x>或x<}
②当0<a<1时,原不等式可化为[(1+a)x-1][(1-a)x-1]<0
∴原不等式的解集为{x|<x<}
③当a=1时,原不等式可化为2x-1>0,∴原不等式的解集为{x|x>-}
综上,当a≤0时,原不等式的解集为.
当a>1时,原不等式的解集为{x|x>或x<},当a=1时,原不等式的解集为{x|x>}.
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|<x<}.
【解法二】当a≤0时,不等式解集为
当a>0时,原不等式等价于
-a<1-<a 1-a<<a+1
∴或
①若0<a<1时,等价于或
即{x|<x<}
②若a=1时,等价于或
即{x|x>={x|x>}
③若a>1时,等价于或
即{x|x>或x<}.
【点评】该题还可以利用图象来解.
[例3]某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)在50≤x≤80时,每天售出的件数P=,若想每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?
【解法一】设销售价定为每件x元(50<x≤80)
每天获得利润y元,则:
y=(x-50)·P=
设x-50=t,则0<t≤30
∴y=
当且仅当t=10,即x=60时,ymax=2500
【答】每件60元时,每天获利最多,最多是2500元.
【解法二】求y=的最大值的解法,还可转化为二次函数的最大值问题解之.
令=t
∵10<x-40≤40
∴≤t<
y==105(-10t2+t)
当t=,即x=60时,ymax=2500
求y的最大值,还可以用二次函数的判别式方法解.
令x-40=t,则10<t≤40
y=
即yt2-105t+106=0 ①
Δ=1010-4·106·y≥0
解之y≤2500,即ymax=2500
检验:当y=2500时,方程①2500t2-105t