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《振动力学》
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一维波动方程
梁的弯曲振动
集中质量法
假设模态法
模态综合法
有限元法
机械振动理论
持续系统的振动
2025年5月18日
《振动力学》
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梁的弯曲振动
动力学方程
细长梁的横向弯曲振动
梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内
在低频振动时可以忽视剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响
梁在该平面作横向振动（微振）, 这时梁的重要变形是弯曲变形
欧拉－伯努利梁（Bernoulli-Euler Beam）
f(x,t): 单位长度梁上分布的外力
m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩
梁参数：
I 截面对中性轴的惯性积
单位体积梁的质量
S 梁横截面积
E 弹性模量
外部力：
假设：
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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f(x,t): 单位长度梁上分布的外力
m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩
微段受力分析
令：
y(x,t): 距原点 x 处的截面在 t 时刻
的横向位移
截面上的剪力和弯矩
微段的惯性力
微段所受的外力
微段所受的外力矩
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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力平衡方程 ：
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：
略去高阶小量得：
材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：
变截面梁的动力学方程：
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
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变截面梁的动力学方程：
等截面梁的动力学方程：
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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固有频率和模态函数
变截面梁：
讨论梁的自由振动
根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：
代入自由振动方程：
等截面梁：
通解：
和
可通过梁的边界条件确定
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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等截面梁：
主振动：
第 i 阶主振动：
无穷多种
和 由系统的初始条件确定
系统的自由振动是无穷多种主振动的叠加：
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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常见的约束状况与边界条件
（1）固定端
挠度和截面转角为零
（2）简支端
挠度和弯矩为零
（3）自由端
弯矩和剪力为零
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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例：求悬臂梁固有频率和模态函数
解：
一端固定，一端自由
边界条件
固定端：挠度和截面转角为零
自由端：弯矩和截面剪力为零
非零解条件：
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2025年5月18日
《振动力学》
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频率方程
当 i=1,2,3时
当 时
各阶固有频率：
对应的各阶模态函数：
简化
持续系统的振动 / 梁的弯曲振动