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重要内容
数学基础——齐次坐标变换
机器人运动学方程的建立（正运动学）
机器人逆运动学分析
二、运动学方程的建立（运动学正问题）
引言 T6的阐明
姿态描述 多种A矩阵的阐明
欧拉角 根据A矩阵来确定T6
摇摆、俯仰和偏转 斯坦福机械手的运动方程
位置确实定 肘机械手的运动方程
圆柱坐标 小结
球坐标
引言 ( Introduction )
本章，我们采用齐次变换来描述在多种坐标系中机械手的位置与方向。首先简介多种正交坐标系的齐次变换。然后简介在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。注意，对任何数目关节的多种机械手均可以这样进行。
描述一种连杆与下一种连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵是描述连杆坐标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。
持续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一种六连杆（六自由度）机械手有
T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （）
六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确定方向。Ｔ６表达机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵Ｔ６有下列元素
nx ox ax px
ny oy ay py
T6 = nz oz az pz （）
0 0 0 1
，机器人的末端执行器（手爪）的姿态（方向）由 n、o、a 三个旋转矢量描述，其坐标位置由平移矢量 p 描述，这就构成了式（）中的变换矩阵 T。
由于 n、o、a 三个旋转矢量是正交矢量，因此有
n = o×a
末端执行器的描述
姿态描述 ( Specification of Orientation )
对式（）中16个元素一一赋值就可确定T6。假定机械手可以抵达规定的位置，而单位旋转矢量o和a正交，即
o·o ＝ 1 （）
a·a ＝ 1 （）
o·a ＝ 0 （）
a形成单位向量
a
a （）
| a |
构成与o和a正交的n
n o×a （）
在o和a形成的平面上旋转o，使得o与n和a正交
o a×n （）
单位向量o是
o
o （）
| o |
根据数学基础给出的一般性的旋转矩阵Ｒot (k ,θ)，它把机械手末端的姿态规定为绕k轴旋转θ角。
( Euler Angles )
姿态变更常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述措施是：先绕z轴旋转ø，然后绕新的y(即y/)轴旋转θ，最终绕更新的z(z//)轴旋转ψ（）欧拉变换Euler(ø,θ,ψ)可以通过连乘三个旋转矩阵来求得
Euler(ø,θ,ψ) ＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(z,ψ) （）
在一系列旋转中，旋转的次序是重要的。应注意，旋转序列假如按相反的次序进行，则是绕基坐标中的轴旋转：绕z轴旋转ψ ，接着绕y轴旋转θ，最终再一次绕z轴旋转ø ，，。
x
x’
x’’
x’’’
y
y’’
y’
θ
ø
θ
ø
ψ
ψ
ψ
θ
z’’’
z’’
z’
z
y’’’
欧拉角
ø
0
x
x’
x’’
x’’’
y
y’’
y’
θ
ø
θ
ø
ψ
ψ
ψ
θ
z’’’
z’’
z’
z
y’’’
基于基坐标的欧拉角
ø
0
ø
θ
摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw )
摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。，就像水中航行的一条小船同样，绕着它前进的方向（z轴）旋转 ø 称为摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转θ 称为俯仰，绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转ψ 称为偏转。。规定旋转的次序为
RPY(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ) （）
即，绕x轴旋转ψ，接着绕y轴旋转θ，最终绕z轴旋转ø ，这个变换如下
cosθ 0 sinθ 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 cosψ –sinψ 0
RPY(ø,θ,ψ) = Ｒot(z,ø) –sinθ 0 cosθ 0 0 sinψ cosψ 0 （）
0 0 0 1 0 0 0 1
cosø –sinø 0 0 cosθ sinθsinψ sinθcosψ 0
sinø cosø 0 0 0 cosψ –sinψ 0
RPY(ø,θ,ψ) = 0 0 1 0 -sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 （）
0 0 0 1 0 0 0 1
摇摆、俯仰和偏 转角
机械手的末端执行器
的摇摆、俯仰和偏 转