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作 者 田 玥
指导教师 陈晓非
摘要 综述了各种地震定位方法的基本原理，重点介绍了Geiger的经典方法以及在此基础上建立的各种线性方法：联合定位法，相对定位法，和最新的双重残差法；对每一种方法的应用情况，特别是国内的工作做了总结；同时也指出了各种方法的特点，并进行了相应的比较。此外，还简要介绍了空间域的定位方法和各种非线性定位方法。
关键词：震定位;线性定位;非线性定位
目 录
引言 1
1经典定位方法 1
2
3
2经典定位方法 4
(JED， JHD) 4
震源位置与速度结构的联合反演(SSH) 5
相对定位法（主事件定位法，ATD） 5
3空间域内的定位方法——台偶时差法 6
4非线性定位方法 7
牛顿法 7
全局搜索方法 7
Bayesian方法 8
5最新定位方法 8
EHB方法 8
双重残差法（DDA） 8
结论 9
致谢 9
参考文献 10
引言
地震定位是地震学中最经典、最基本的问题之一，对于研究诸如地震活动构造、地球内部结构、震源的几何构造等此类地震学中的基本问题有重要意义。此外， 基于快速准确的地震定位的地震速报，对于震后的减灾、救灾工作也是至关重要的。因此，地震学家一直在不断改善或提出新的定位方法。
地震定位问题的提法如下：根据台站对地震届时的观测资料，来拟定震源的空间坐标和发震时刻，有时还给出对解的评价。初期的地震定位方法以几何作图法为主[1]。近三十年来由于计算机技术的飞速发展和广泛应用，基于科学计算和计算机技术的智能化数值自动定位方法也得到了迅速发展，并业已成为当前地震定位的主流方法。我国最初的地震定位工作由李善邦先生于1930年在北京鹫峰地震台开创，1953年开始采用多台站大规模观测数据拟定震中，现在大多使用国际流行的定位方法。
本文只介绍目前广泛使用的计算机定位方法，重点介绍Geiger的经典方法以及在此基础上建立的各种线性方法：联合定位法，相对定位法，和双重残差法，并且重点总结了国内的有关工作。
1经典定位方法
现行的线性定位方法大都源于192023Geiger提出的经典方法[2]： 设n个台站的观测届时为 求震源及发震时刻，使得目的函数
(1)
最小。其中为届时残差
， (2)
为震源到第i个台站的计算走时。
使目的函数取极小值也即
， (3)
其中. 为方便，记
， (4)
则由(3)式，在真解附近任意试探解及其校正矢量满足
. (5)
也即
. (6)
由的定义可得公式(6)的具体表达式
. (7)
若偏离真解不大，则和较小，可忽略二阶导数项，(7)式被简化为线性最小二乘解：
. (8)
以矩阵形式表达，上式为
， (9)
其中
.
若二阶导数项不可忽略，则(7)式给出非线性最小二乘解
. (10)
通常各台站的届时数据具有不同的精度，假如不加以区别，则具有较低精度的数据将严重干扰结果的精度，这一问题可以通过引入加权目的函数来解决。设各台站届时残差
的方差为，引入加权目的函数
， (11)
按照上述同样的环节，通过求(11)式的极小值，得到如下加权线性最小二乘解
， (12)
其中为加权方差矩阵：.
由方程(9), (10), 或(12)求得后，以作为新的尝试点，再求解相应方程。如此反复迭代，直至足够小（或满足一定的循环结束条件），此时即得估计解。
直到20世纪70年代，随着计算机的迅速兴起，Geiger的思想才被广泛用于地震定位工作。Lee等人连续给出了HYPO71, HYPO78~81系列程序[3]，至今仍被普遍使用，我国的赵仲和参与了80、81版本程序的研制。Backus和Gilbert提出新的反演理论后，Klein提出HYPOINVERSE算法[4]，Lienert等在此基础上进一步得到HYPOCENTER算法[5]，Nelson和Vidale也改善了HYPOINVERSE，提出了三维速度模型下的QUAKE3D方法[6]。在国内，经典方法也得到了广泛应用：赵仲和将HYPO81用于北京台网[7]，吴明熙等[8]和赵卫明等[9]分别将经典方法用于禄劝地震和灵武地震序列的定位。
针对求解基于Geiger方法的线性方程组所碰到的各种问题，许多学者提出了各种改善方法：① 方程(9)的反演可有多种方法。例如当奇异或接近奇异时，会引起迭代过程的失稳和发散，此时可以采用奇异值分解（SVD）求得估计解，同时还可得到解的分辨率与误差估计；当矩阵较大时，可以采用共轭梯度法求解。② 为了提高数值计算的稳定性，通常采用中心化（centering）、定标化（scaling）、阻尼最小二乘法等方法[5]。③使用最小二乘法（L2准则）的前提是届时残差遵循Gauss分布，但这一点经常得不到满足，此时采用L1
准则：，可减少较大的届时残差的影响[10]。
2经典定位方法
经典方法是单事件定位方法。多事件定位法联合定出多个震源以及其它参数（如台站校正或速度模型），旨在解决用简朴的速度模型代替复杂的地壳结构所引起的误差，同时也提高了定位效率。
(JED， JHD)
设有m个事件，n个台站。对每个台站j，引入“台站校正”，以填补由速度模型简化所引起的误差。则对于事件i和台站j（i=1,2,……m；j=1,2,……n），有方程
， (13)
其中为观测届时，为事件i到台站j的计算走时，. 选定初始点和，将(13)式做一阶Taylor展开，可得届时残差
， (14)
设是届时残差的方差，则可对上式加权：。这样，将(14)式用于所有事件和台站，即可联合反表演m个事件的震源位置及n个台站校正。
1967年Douglas最先提出以上理论（JED）[11]，后来Dewey将其扩展成涉及震源深度定位的JHD 方法[12]。为解决由于m, n过大而导致矩阵过大的问题，1983年Pavlis和Booker提出参数分离的PMLE方法[13]，并进一步被Pujol简化[14-15]。我国王椿镛等[16]根据昆明台网区域地震初至P波走时资料，用JHD和参数分离法，得到各台站P波走时的校正，并且使定位精度有较大提高。
震源位置与速度结构的联合反演(SSH)
1976年，Crosson初次提出该联合反演理论[17]。由于SSH方法不需要对波速进行校准，同时还可以获得有关速度结构的很多信息，是目前被广泛使用的一种定位方法。与JED方法相比，该方法未引入台站校正，而是将速度结构作为未知参数与震源同时反演，由此解决人为构造的速度模型引起的误差。
将(13)式改写为
， (15)
其中是事件i到台站j的计算走时，是一维速度模型矢量。给定初值，将(15)式在该点作一阶Taylor展开可得到：
， (16)
将(16)式用于所有事件和台站，即可联合反表演m个震源位置和速度模型。
在一维速度结构与震源联合反演的理论基础上，Aki等人将地球内部横向非均匀速度结构网格化，于1977年提出了三维速度结构与震源联合反演的理论[18-19]。但是用单一方程组联合反演，需要巨大的运算量，Pavlis和Booker[20], Spencer和Gubbins[21]用参数分离法进行改善，使耦合着的速度参数和震源参数分别求解，大大提高了运算效率。在国内，赵仲和于1983年建立了一个新的地震波速度模型MDBJ81, 以适应北京地区台网的稀疏分布，并将该模型用于SSH方法，提高了北京台网的测定能力[22]。刘福田引入正交投影算子实现参数分离，并提出运用矩阵的块结构采用顺序正交三角化的方法，减轻了运算量[23]。李强，刘福田对SSH进一步改善，应用最新的三维速度结构研究结果，并考虑方程组的平衡问题以改善震源深度、发震时刻的测定精度[24]。此外，郭贵安等[25]，赵燕来等[26]，朱元清等[27]分别将SSH方法用于震源的精确测定工作。
相对定位法（主事件定位法，ATD）
相对定位法由JED发展而来，也是一个经典的、被广泛采用的方法。Spence给出了该理论的具体阐述[28]。其基本原理是选定一震源位置较为精确的主事件，计算发生在其周边的一群事件相对于它的位置，进而计算这群事件的震源位置。
设主事件为R, 其震源参数已知；与R相距很近的待定事件为，其震源参数为。由JED法列方程：
对事件R: ， (17)
对事件: ， (18)
将(18)式在点作一阶Taylor展开，再与(17)式相减，得到
. (19)
这里引入了届时差（ATD）：. 由方程式(19)即可反演得到对R的相对位置，于是可求得其震源参数。
相对定位法通过引入届时差，计算“相对位置”而消除了速度模型引起的误差，有着独特的优点：由于与R相距很近，所以不需要迭代；对主事件、待定事件均不需要计算届时残差。该方法所得相对位置与相对届时的误差比经典方法小30%，但绝对位置与绝对届时依赖于主事件。
周仕勇等对该方法作了较大改善[29]：定位中避开发震时刻的直接求解，在拟定震源后，根据地震波的传播速度和距离计算，并且采用首波届时资料专门拟定深度。
3空间域内的定位方法——台偶时差法
上述方法均为时间域内的定位方法，基于对届时残差的解决，4个震源参数彼此不完全独立，定位结果依赖于速度结构和台网分布。为了克服上述缺陷，人们同时提出了空间域内的定位方法，即用距离残值代替届时残差，方程只涉及震中位置，震源深度和发震时刻单独求解，避免了参数的互相折衷，定位精度较高。Lomnitz[30],Carza等[31]使用该方法进行远震定位，震中误差为8—20km。
1957年，Romney提出台偶时差近震定位法[32]，运用届时相近、位置相邻的两个台站（即台偶）的届时差和表面平均视速度来建立距离残差方程，所得方程的条件数低，易于求解，并且定位结果对结构的依赖很少；但对震源深度和发震时刻的拟定并没有很好解决。赵珠，曾融生对此做了改善[33]：运用届时曲线的斜率来拟定震源深度，运用届时曲线在时间轴上的截距来拟定发震时刻。丁志峰，曾融生对京津唐地区采用台偶时差法测定了震中，震源深度的拟定使用了不同震相间的届时差
[34]。
4非线性定位方法
单事件与多事件定位法都是基于Geiger的线性方法，该方法在很多情况下都会出现问题[35]。例如省略二阶以上的项不一定合理，若选择不妥，线性迭代也会使解陷入局部极小点等。 非线性方法是解决这些问题的一个途径。
牛顿法
Thurber提出用包含二阶偏导数的非线性牛顿法来解决Geiger的方法所碰到的困难[36]。在均匀和分层速度模型中，都存在以下问题：对于震源深度接近于地表的浅震，二阶偏导数趋于最大，而一阶偏导数却趋于零，此时二阶偏导数便极为重要；此外，当震源在台网之外时，二阶偏导数的加入也提高了算法的稳定性。由于深度定位的不拟定性来源于线性方法中发震时刻和震源深度的相关性，而对的变化，二阶偏导数比一阶偏导数更为敏感，故它的引入减小了相关性，提高了算法的稳定性。需要注意的是，对于多事件定位或三维速度结构，二阶偏导数的引入大大增长了计算量。
Thurber根据牛顿法给出的非线性解为：
， (20)
此解亦为非线性最小二乘解 (11)。
全局搜索方法
非线性最优化理论中的各种全局搜索算法也被广泛的用于地震定位。用这些算法求目的函数的极小值，能避免解陷入局部极小点，并且对的形式没有限制, 但计算效率一般都比较低。
1988年Prugger和Gendzwill[6]，1994年赵珠等[37]分别将单纯形法用于地震定位。单纯形法算法简朴，不需规定偏导数或逆矩阵，但它不能给出解的分辨率和误差估计。
1979年唐兴国将Powell直接搜索法用于地震定位[38]。该方法也不需规定偏导数或逆矩阵，且对迭代初值规定较低，选取届时最小的台站位置即可。Powell法自身不能给出误差估计，汪素云等
[39]运用对理论走时作随机扰动的数值实验法给出均方根残差与震源位置误差的关系。此外，严尊国等[40]，汪素云等[41]分别将此方法应用于三峡地区和青藏高原的重新定位。
其它的全局搜索算法尚有蒙特卡罗法[42]，模拟退火法，遗传算法 [43-44] 等，也都已被用于地震定位工作。
Bayesian方法
该定位方法根据Bayesian评估理论形成，即从记录学的角度看，模型参数的最佳值使观测数据的概率达成极大。二十世纪80年代，Tarantola和Valette[45]，Jackson和Matsu’ura[46-47]提出了Bayesian定位方法的严格公式及解。
5最新定位方法
EHB方法
1999年，Engdahl等提出用于全球远震定位的EHB方法[48]。其中运用了多种震相：P, S，PKiKP, PKPdf，pP, pwP, sP，并且改善得到了一种合用于后达波震相的全球速度模型，用以单独确认远震深度震相（pP, pwP, sP）。与ISC, NEIC的定位结果相比，用EHB重新定位得到的震中位置的精度明显提高，而震源深度也得到显著改善。EHB方法可用于平常的快速定位，也可以用于层析成像及其它地球内部结构的研究。
双重残差法（DDA）
2023年终，Waldhauser和Ellsworth提出了双重残差定位法[49]，其基本原理简述如下。
对台站k，引入“事件对”i，j及双重残差
， (21)
的计算可以用绝对届时，也可以用两个事件的届时差。对单事件定位，我们有