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2024-2025学年江苏省宿迁市九年级下学期期中测试数学试卷
一、选择题
 
1载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ）
A. B.
C. D.
 
，正确的是（    ）
A. B. C. D.
 
，截止月日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破亿元，亿用科学记数法可表示为（    ）
A. B. C. D.
 
，则关于的方程的解为（    ）
A. B. C. D.
 
， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（   ）
A. B. C. D.
 
，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（   ）
A. B. C. D.
 
，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（   ）
A. B. C. D.
 
：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（    ）
A. B. C. D.
二、填空题
 
、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系是_________________
 
，则______________．
 
，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是____________.
 
，则____________．
 
，，则的值是__________________．
 
，母线是，则圆锥的侧面积是____________．
 
，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为______________．
 
，平行四边形中，、分别为的中点，与相交于点，则______________．
 
，在平面直角坐标系中，矩形的边，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，长为__________．
 
，，，，延长至点，过点分别作，交直线于点，作，交直线点，连接，线段的最小值为__________．
三、解答题
 
：．
 
：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值．
 
《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
分拣快递数量（万件）
机器人台数（台）
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
众数/万件
中位数/万件
平均数/万件
型号
和
型号
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3）若该省共投放市场的型号智能机器人有台，型号智能机器人有台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
 
，月日下午，京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了．小番茄，．香蕉，．黄瓜，．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）．
（1）选手宿宿在经过补给站时，选中．面包的概率是____；
（2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有．香蕉的概率．
 
，在中，于点，延长至点，使得，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求的长．
 
，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分面积．
 
“已升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
（1）据统计某“已升升”电商平台年月份的销售量是万件，年月份的销售量是万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）某实体店“已升升”的进价为每件元，若售价定为每件元，则每天能销售件．经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应降低多少元？
 
．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处的俯角为，距楼顶点米，点处的俯角为，其中点，，，在同一平面内，求该教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
 
“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．
【操作发现】若交于点，求证：；
【深入探索】在的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．
如图，若，求的长；
如图，若，，三点共线，求的长；
【拓展延伸】在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值．
 
，点，，抛物线（是常数）的顶点为．
（1）当抛物线经过点时，求点的坐标；
（2）若点在轴下方，当时，求此时的值；
（3）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值．
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省宿迁市九年级下学期期中测试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
2.
【答案】
D
【考点】
幂的乘方
同底数幂的除法运算
【解析】
根据幂的运算法则即可求解．
【解答】
，错误；
，错误；
，错误；
，错误．
故选：．
3.
【答案】
D
【考点】
用科学记数法表示绝对值大于1的数
【解析】
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】
解：亿，
故选：．
4.
【答案】
A
【考点】
两直线的交点与二元一次方程组的解
【解析】
本题考查了一次函数图象的交点问题，一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握两条一次函数图象的交点的横坐标即为联立解析式得到对应方程的解，据此即可解答．
【解答】
一次函数与交于点，
把代入得：，
解得：，
关于的方程的解为，
故选：．
5.
【答案】
B
【考点】
直角三角形的两个锐角互余
圆周角定理
半圆（直径）所对的圆周角是直角
【解析】
本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解．
【解答】
解：如图所示，连接，
，
，
是直径，
，
在中，，
故选： ．
6.
【答案】
C
【考点】
二次根式的除法
勾股定理与网格问题
求角的正弦值
【解析】
本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答．
【解答】
解：如图，取格点，
，
，
是直角三角形，且，
，
故选：．
7.
【答案】
D
【考点】
反比例函数综合题
相似三角形的性质与判定
解直角三角形的相关计算
【解析】
连接、，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出，，解直角三角形求得，作 轴于，轴于，证得，得到，根据反比例函数系数 的几何意义即可求得结果．
【解答】
解：连接、，
四边形是菱形，
，
菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
与、与关于原点对称，
、经过点，
，
，
，
作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
8.
【答案】
C
【考点】
根据一元二次方程根的情况求参数
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，以及与轴的交点问题，由题意得，即得，可得，得，再画出二次函数图象，由图象可得当时，，即得，综上即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【解答】
解：由题意得，，
整理得，，
二次函数有两个相异的不动点，
方程有两个不相等的实数根，
，
，
令，
画该二次函数的草图如下：
设抛物线与轴交点的横坐标为，且，
当时，，
，
的取值范围是，
故选：．
二、填空题
9.
【答案】
【考点】
在数轴上表示实数
【解析】
本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置比较大小，即可求解．
【解答】
解：根据数轴可得：，
故答案为：．
10.
【答案】
【考点】
比例的性质
【解析】
本题考查了比例的性质，根据，设，代入计算即可．
【解答】
解： ，
设，
．
故答案为：．
11.
【答案】
度
【考点】
根据平行线的性质求角的度数
【解析】
依据，，即可得到，再根据，即可得出．
【解答】
如图：
，，
，
，
．
故答案是：．
12.
【答案】
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
本题考查一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解．
【解答】
解：将代入方程，得
解得：
故答案为：．
13.
【答案】
【考点】
因式分解-提公因式法
【解析】
本题将分解因式即可解答．
【解答】
解：，，
．
故答案为：
14.
【答案】
【考点】
求圆锥侧面积
【解析】
本题考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】
解：圆锥的底面半径是，母线是，
圆锥的侧面积为
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
正多边形和圆
求弧长
【解析】
本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】
解：如图，
由正六边形的性质可知，，中心角为，
由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为，
答案为：．
16.
【答案】
或
【考点】
利用平行四边形的性质证明
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定，结合，计算选择即可．
【解答】
延长交于点，
，
，
，，
，，
、分别为的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
17.
【答案】
【考点】
矩形与折叠问题
相似三角形的性质与判定
坐标与图形综合
【解析】
本题考查矩形的性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．
根据矩形的性质和折叠的性质证明，即可求解．
【解答】
解：矩形的边 ，，
，，， 轴，，
，
折叠，
，
，
，
由折叠得，，
，
（负值舍去），
故答案为：
18.
【答案】
【考点】
垂线段最短
等边三角形的性质与判定
圆周角定理
解直角三角形的相关计算
【解析】
本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解．
【解答】
解：连接，取中点，连接，以为直径作，
，
，
点，在上，
，
，
，
为等边三角形，
，
当最小时，最小，
时，最小，即最小，如图：
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题
19.
【答案】
【考点】
实数的混合运算
负整数指数幂
【解析】
本题考查了实数的运算，涉及乘方运算，化简绝对值，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，掌握运算法则，正确化简是解题的关键．分别进行乘方运算，化简绝对值，计算负整数指数幂，以及代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算．
【解答】
解：
．
20.
【答案】
，当时，值为（答案不唯一）
【考点】
分式的化简求值
分式有意义的条件
【解析】
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
先进行括号内异分母分式减法计算，再将除法化为乘法计算，最后代入求值即可，注意分母不为
【解答】
解：
，
，
，
当时，原式
21.
【答案】
，
（2）
（3）万件．
【考点】
利用已知的平均数求相关数据的平均数
加权平均数
中位数
众数
【解析】
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）运用加权平均数的计算公式求解即可；
（3）分别求出型和型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可．
【解答】
（1）解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，，
故中位数；
故答案为：；；
（2）解：（万件），
表中的值为
（3）解：（万件），
估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有万件．
22.
【答案】
（1）
（2）
【考点】
根据概率公式计算概率
列表法与树状图法
【解析】
（1）根据概率公式的计算即可求解；
（2）列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可求解．
【解答】
（1）解：赛道中途补给站给参赛选手准备了．小番茄，．香蕉，．黄瓜，．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的），
选手宿宿在经过补给站时，选中．面包的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表表示如下，
共有种等可能结果，参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有．香蕉的情况有钟，
参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有．香蕉的概率为．
23.
【答案】
（1）见解析
（2）．
【考点】
勾股定理的应用
利用平行四边形的性质证明
证明四边形是矩形
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明矩形；
（2）根据平行四边形的性质得到，利用勾股定理求得，利用三角形的面积求出即可．
【解答】
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
，即，
，，
四边形是平行四边形．
，
，
是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
的面积，
即，
解得：．
24.
【答案】
（1）见解析
（2）
【考点】
证明某直线是圆的切线
扇形面积的计算
解直角三角形的相关计算
【解析】
（1）连接，根据切线的性质得到，再根据，证明，即可证明，即可证明结论；
（2）根据特殊角的三角函数值得到，求出，分别求出和和的面积即可得到答案，
【解答】
解：（1）证明：连接，
，
，
，，
，
，
，
，点在上，
故是的切线；
（2）解： ，为的直径，
，
，
，
，
且，
，
，
，
，
令半径为，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
．
25.
【答案】
（1）月平均增长率为；
（2）售价应降低元．
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
营销问题(一元二次方程的应用)
【解析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设月平均增长率为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可；
设售价应降低元，由题意列出方程，然后解方程并检验即可．
【解答】
（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：，（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低元．
26.
【答案】
米
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．如图：过点作于点，过点作于点，在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长，则可得的长．
【解答】
解：如图：过点作于点，过点作于点，
则，米，米，，
在中，，可得米，
在中，，可得米，
（米），
（米），
该教学楼的高度为米．
27.
【答案】
见解析； ； ；．
【考点】
全等三角形的应用
根据等角对等边求边长
勾股定理的应用
根据旋转的性质求解
【解析】
连接，由中位线定理可得，则，然后证明即可；
由中位线定理得，，进而求勾股定理得，再利用平行线及等腰三角形的判定可得，，进而求得在利用线段的和差求出即可得解；
先证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可；
为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解．
【解答】
证明: 如图，连接，
，为中点，
，
，
三点共线，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
，
；
如图，记交于点，
，，为中点，
，，
在中， 由勾股定理，得，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，，
，，
，
；
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，，三点共线,
，
，
，
设，
在中， 由勾股定理，得，
则，
解得，
；
如图，过作于点，
为定值，
当上的高线最大时，则面积最大，即求出到的最大距离即可，
，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
，
此时三点共线，
即，
，
即面积最大值为，
28.
【答案】
（1）
（2）
（3）或
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
解直角三角形的相关计算
解一元二次方程-公式法
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）把点代入求出的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点的坐标；
（2）先由函数解析式得出顶点坐标为．再结合已知条件可知，可得：再建立方程求解即可；
（3）由可知，定点的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证．得点的坐标为或．然后进行分类讨论即可求解．
【解答】
（1）解：抛物线经过点，
，
解得．
抛物线的解析式为．
，
顶点的坐标为．
（2）解：抛物线的顶点的坐标为．
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限．
记抛物线的对称轴与轴的交点为，
则，
顶点的坐标为，
，
解得：，（舍去） ；
（3）解：由可知，
当时，无论取何值，，
得点的坐标为．
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则．
，
，
，
，
，
．
．
，．
点的坐标为，
设直线为，
，
解得：，
直线的解析式为．
点在直线上，
，
整理得：，
解得：，，
当时，点与点不共线，舍去，
．
如图，同理可得：，
同理可得直线的解析式为．
点在直线上，
，
整理得：，
解得（舍），．
．
综上，或．
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