文档介绍：空间直角坐标系
[学****目标] ,.
[知识链接]
在平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点坐标为,两点的距离为.
[预****导引]
为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°,我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点,每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面.
过点P作一个平面平行于yOz(垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的x坐标.
过点P作一个平面平行于xOz(垂直于y轴),这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y叫做点P的y坐标.
过点P作一个平面平行于坐标xOy(垂直于z轴),这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P的z坐标.
这样对空间的一点P,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作P(x,y,z),其中x,y,z也可称为点P的坐标分量.
,每一部分都称为一个卦限,在每个卦限内,点的坐标各分量的符号是不变的.
空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离d(A,B)=|AB|=.
特别地,空间任意一点P(x,y,z)与原点的距离d(O,P)=|OP|=.
要点一求空间中点的坐标
例1 建立适当的坐标系,写出底边长为2,高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.
解以BC的中点为原点,BC所在的直线为y轴,以射线OA所在的直线为x轴,建立空间直角坐标系,如图.
由题意知,AO=×2=,从而可知各顶点的坐标分别为A(,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1(,0,3),B1(0,1,3),
C1(0,-1,3).
规律方法(1)题目若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的投影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.
跟踪演练1 画一个正方体ABCDA1B1C1D1,以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
(2)求棱C1C中点的坐标;
(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.
解建立空间直角坐标系如图所示,且正方体的棱长为1.
(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).
(2)棱CC1的中点为M.
(3)面AA1B1B对角线交点为N.
要点二求空间中对称点的坐标
例2 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.
解(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).
(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,
y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以P3(6,-3,-12).
规律方法任意一点P(x,y,z),关于原点对称的点是
P1(-x,-y,-z);关于x轴对称的点是P2(x,-y,-z);关于y轴对称的点是P3(-x,y,-z);关于z轴对称的点是P4(-x,-y,z);关于xOy平面对称的点是P5(x,y,-z);关于yOz平面对称的点是P6(-x,y,z);关于xOz平面对称的点是P7(x,-y,z).
求对称点的问题可以用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的口诀来记忆.
跟踪演练2 求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.
解如图所示,过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M,并延