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方程组和不等式局部教案
第一课时 一次方程〔组〕 的解法
1、了解一元一次方程的有关概念；
2、能娴熟把握一元一次方程的解法，理解解法中的各个步骤；
3、了解二元一次方程〔组〕的有关概念；
4、把握代入消元法和加减消元法，能选择适当的方法解二元一次方程组；
【教学过程】
一、学案内容检查
例 1、 解方程 x + 2 - x - 1 = 2 - x 并填写下表.
3 2
先由学生展现所解方程，并结合解题过程回忆解一元一次方程的一般步骤及留意事项．
觧一元一次方程的一般步骤：
变形名称
变形依据
留意事项
去分母
等式的根本性质 2
方程两边都乘以全局部母的最小公倍数；
不要漏乘，尤其是没有分母的项．
去括号
去括号法则
去括号时留意是否要转变符号
移项
等式的根本性质 1
移项必需变号
合并同类项
合并同类项法则
系数相加减，字母和字母的指数不变
系数化为 1
等式的根本性质 2
留意运算的正确性
检测：1、 假设x=3 是方程 3x+2a=5 的解，则a 的值是〔 〕
A．4 B．–4 C．2 D．–2
2、方程x2+mx+2=0 的一个根是x=1，则方程的另一个根为〔 〕
A．-2 B．2 C．-3 D．3
2x + 1 -
2x - 1 = 1
3 2
ì x - 4 y = - 1，
î
例 2. 解方程组 í 2 x + y = 16 .
展现不同的方法解；②总结解方程组的根本思路；③总结解方程组的根本方法．
小结：
1、解二元一次方程组的根本思路是“消元”，马上“二元”转化为“一元”；
2、解二元一次方程组的根本方法有“代入消元法”和“加减消元法”．
① 代入消元法主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
② 加减消元法主要步骤是，通过方程两边分别相加〔减〕消去其中一个未知数．
3、解二元一次方程组的特别方法——图象法
① 将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；② 在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；③ 观看图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．
检测：1、
ì y = 2x， ①
í
î3y + 2x = 8． ②
2、 ìx - 4 y = -1,
î
í2x + y = 16.
三、应用
1、假设 | x - 2 y +1| + | 2x - y - 5，| = 0
5
xn ym+ n
则 x+y 的值为 .
m、n
2、代数式
ìm = 2
-3xm-1 y3 与 2
í
ìm = 2
是同类项，那么 的值分别是〔 〕
ìm = -2
í
B í ．C． í D． ìm = -2
în = -1
în = 1
în = -1
în = 1
3、 如图，一次函数 y=ax+b 的图象经过A、B 两点，则a、b 的值分别是是 ．
y
A
B O
C
4、 如图，直线y=x+2 与 y=-x+4 相交于点A，并且与x 轴分别交于 B、C，求△ABC 的面积.
x
5
、如图，直线 l
1
：y＝x+1 与直线 l ：y=mx+n 相交于点P〔1,b〕
2
求b 的值 ì y = x +1
不解关于x、y 方程组 í ，请
你直接写出它的解
î y = mx + n
直线 l3 ：y=nx+m 是否也经过点P？请说明理由
课堂检测
1、点(2，－1)是方程 y=kx＋1 的一个解，则直线 y=kx+l 的图象不经过第 象限.
2、写出满足方程x+2y=9 的一对整数值 ．
ìax + by = 7 ìx = -2
3、假设方程组í 的解是í ，则 a＝ ，b＝ .
îax - by = 13
î y = -1
ì y = ax + b,
=
4、如图，函数y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点P， 则依据图象可得，关于í
î y kx
的二元一次方程组的解是〔 〕
A.
í
ìx = 4
î y = 2
ìx = -4
C.í
î y = -2
ìx = -4
í
î y = 2
ìx = 4
D.í
î y = -2
5、等式 y = kx + b ，当 x = 2 时，y = -2 ；当 x = - 1
2
ì2x - 3y = 8
- = -
7、解方程组í
î7x 5 y 5．
时，y = 3 ，则k =
, b = .
ìax + 5 y = 15,
î
．方程组 í4x - by = -2.
由于甲看错了方程①中的 a ，得到方程组的解为
ìx = -3, ì x = 5,
í 乙看错了②中的b ，得到方程组的解为í
假设按正确的 a 、b 计算求方程
î y = -1, î y = 4.
组的解及x－y 的值.
其次课时 一次方程〔组〕的应用
【教学目标】
1、会运用一元一次方程解决简洁的实际问题.
2、会运用二元一次方程组解决简洁的实际问题.
【教学过程】
一、回忆列方程解应用题的步骤:
审、设、则、列、解、验、答出例如题：
例 1.〔08 年中考〕21．列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于 2025 年 8 月 1 日开通运营，估量高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比估量时间多用了6 分钟， 由天津返回北京的行驶时间与估量时间一样．假设这次试车时，由天津返回北京比去天津时 平均每小时多行驶 40 千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 带着学生分析，列表分析，展现不同解法
解：设由北京到天津的平均速度是每小时 x 千米,则由天津返回北京的平均速度为每小时
〔x+40〕千米。
据题意得：=(x+40)
法二：解：设由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，由天津返回北京的平均速度为每小时 y 千米。
据题意得： y=x+40
=
练习：1、〔09 中考〕18、北京市实施交通治理措施以来，，2025 年 10 月 11 日到 2025 年 2 月 28 日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4 倍少69 ，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？
2、〔10 年中考〕17. 列方程或方程组解应用题：
2025 亿立方米，其中居民家庭用水
比生 产运营用水的 3 倍还多 亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。
班级
金额〔元〕
〔1〕班
2025
〔2〕班
〔3〕班
例 2. 今年5 月 12 日， 级大地震，给当地人民造成了巨大的损失“．一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生乐观捐款，其中九年级的3 个班学生的捐款金额如下表：
吴教师统计时不留神把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元；
信息二：〔2〕班的捐款金额比〔3〕班的捐款金额多 300 元；
信息三：〔1〕班学生平均每人捐款的金额大．于．48 元，小．于．51 元．请依据以上信息，帮助吴教师解决以下问题：
求出〔2〕班与〔3〕班的捐款金额各是多少元；
求出〔1〕班的学生人数．
例 3. 8. 某同学在A、B 两家超市觉察他看中的随身听的单价一样，书包单价也一样，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元.
① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 全部商品打八折销售，超市B 全场购物满 100 元返购物券 30 元销售〔缺乏 100 元不返券，购物券全场通用〕，但他只带了 400 元钱，假设他只在一家超市购置看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购置吗？假设两家都可以选择，在哪一家购置更省钱？
检测： 23 名中、小学生因贫困失学需要捐助， 资助一名中学生的学习费用需要 a 元，一名小学生的学习费用需要 b 元，某校学生乐观捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的局部状况如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
捐款数额〔元〕
4000
4200
7400
捐助贫困学生〔名〕
2
3
捐助贫困小学生人数〔名〕
4
3
求a、b 的值；
初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用， 请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中。〔不需写出计算过程〕
第三课时 分式方程
【教学目标】
1、了解分式方程的有关概念；
2、会解可化为一元一次方程的分式方程〔方程中的分式不超过两个〕，会对分式方程的解进展检验；
3、会运用分式方程解决简洁的实际问题.
【教学过程】
一、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 二、分式方程的解法
例 1 解方程．
(1) 1
= 1 - 2
6x - 2 2 1 - 3x
1
解：原方程可化为
= 1 + 2
2(3x - 1) 2 3x - 1
方程两边都乘以 2〔3x-1〕得
1=3x-1+4
整理，得 3 x＝-2．
解得 x＝ -
检验：当 x＝ -
2
．
3
2
3 时，2(3x－1)≠0.
所以，x＝ -
2
是原方程的根．
3
〔2〕1 - 3x - x2 = 3x
x2 - 1 x + 1
解：原方程可化为1 -
3x - x2
= 3x
(x + 1)(x -1) x + 1
方程两边都乘以〔x+1〕(x-1)得
〔x+1〕〔x-1〕-〔3x-x2〕=3x(x-1)去括号，整理得：-x=1
解得：x=-1
检验：当 x＝-1 时，〔x+1〕(x-1)＝0.
所以，x＝-1 是原方程的增根，原方程无解．
小结：
1、解分式方程的根本思路是将分式方程转化为整式方程，具体做法是“去分母”.
2、解分式方程的一般步骤是：
① 去分母，将分式方程转化为整式方程〔一元一次方程〕；
将分母因式分解或变形
找到全局部母的最简公分母
方程两边同乘这个最简公分母
② 解这个整式方程；
③ 检验，推断方程解的状况.
练习 1
x - 2
分式方程
= 3 -
2x2 - 13
的最简公分母是 .
x + 3 x2 - 9
1
以下是方程
- 1 - x
= 1去分母后的结果，其中正确的选项是〔 〕
x 2x
A．2-1-x=1 -1+x=1 -1+x=2x -1-x=2x
2
解方程
= 1- x
- 5 〔4〕解方程 x -1 - 6 = 1
x - 3 3 - x x +1 x2 -1
三、分式方程的应用〔审、设、则、列、解、验、答〕
例 3、为响应低碳号召，李教师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李教师家距学校 10 千米，由于汽车的速度是自行车速度的 4 倍，所以李教师每天比原来提前 30 分钟动身，才能按原来的时间到校，求李教师骑自行车的速度．
分析：设李教师骑自行车的速度为 x 千米/时
路程〔千米〕
速度〔千米/ 时〕 所用时间〔小时〕
骑自行车
x
乘汽车
填上适当的代数式，完成表格．
解：．设李教师骑自行车的速度为 x 千米/时，则汽车速度为 4x 千米/时
依据题意，得： 10
+ 30
= 10 ．
4x 60 x
解得： x = 15 ．
经检验： x = 15 是原方程的解，且符合题意．
∴ x = 15 ．
李教师骑自行车的速度为 15 千米/时． -
练习：
.某服装厂预备加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，承受了技术，使得工作效率比原打算提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问打算每天加工多少套？在这个问题中，设打算每天加工x 套，则依据题意可得方程为〔 〕
+
160
A．
400
= 18 B． 160 +
400 - 160
= 18
x (1 + 20%)x x (1 + 20%)x
+
160
C．
400 - 160
= 18 D． 400 +
400
= 18
x 20% x x (1 + 20%)x
2、〔选做〕练习：列方程组解应用题
甲、乙合打一份稿件，4 小时后，甲有事离去，由乙连续打 6 4 小时的稿件乙需 5 、乙独打这份稿件各需多少小时？
【课堂检测题】
3
1、〔10 中考〕解分式方程：
- x = 1
2x - 4 x - 2 2
2、某市为了处理污水需要铺设一条长为4000 米的管道，为了尽量削减施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原打算多铺设 10 米，结果提前 20 天完成任务．设原打算每天铺设管道 x 米，可得方程〔 〕．
4000
A.
- 4000
= 20 B. 4000 -
4000
= 20
x -10 x x x -10
4000
C.
- 4000
= 20 D. 4000 -
4000
= 20
x + 10 x x x + 10
3、列方程组解应用题：
A、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运 30kg，A 型机器人搬运 900kg 与 B 型机器人搬运 600kg 所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
第四课时一元二次方程〔一〕
【教学目标】
1、了解一元二次方程的有关概念，能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；
2、能选择适当的方法解一元二次方程，理解各种解法的依据；
3、会用一元二次方程根的判别式推断根的状况，或由方程根的状况确定字母系数的取值范围；
4、会用配方法对代数式作简洁的变形；
【教学过程】
一、一元二次方程的相关概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式： ax 2
bx + c = 0 〔 a, b, c 是常数，且a ¹ 0 〕.
例 1 方程〔m2－1〕x2＋mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满足的条件是〔 〕
A. m≠1 B. m≠0 C. |m|≠1 D. m＝±1
一元二次方程中二次项的系数不为 0，由此可确定二次项系数中所含字母的取值范围.
二、一元二次方程的解法例 2 用适当的解以下方程
〔1〕 x 2
+ 2x - 3 = 0 〔2〕 x 2
+ 3x = 10 〔3〕 2x(x - 3) = 5(x - 3)
小结：解一元二次方程的根本思路是：降次.
一元二次方程的解法有：配方法、公式法和因式分解法.
1、配方法是一种以配方为手段，以开平方为根底的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 〔 a ¹ 0 〕的一般步骤是：① 化二次项系数
为 1，即方程两边同除以二次项系数a ；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ 配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④ 化原方程为(x + m)2 = n 的形式；⑤ 假设n ≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；假设n ＜0，则
原方程无解．
b2- 4ac
b ±
2、公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二
次方程的求根公式是 x = (b 2 - 4ac ³ 0).
2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 化方程为一元二次方程的一般形式；② 确
定 a, b, c 的值；③ 求出b 2
4ac 的值；④假设b 2
4ac ³ 0 ，则代人求根公式求方程的解；
假设b 2
4ac < 0 ，则方程无解．
3、用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论依据是假设
a × b = 0 ，则a = 0 或b = 0 .
因式分解法的步骤是：① 将方程右边化为 0；② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．留意：方程两边绝不能任凭约去含有未知数的代数式．如〔3〕中
不能在方程两边约去(x - 3) ，否则会丢根.
4、三种解法的优先选择挨次是：因式分解法→公式法→配方法.
练习 1 解以下方程
〔1〕 (x -1)2 = 3
〔2〕 x2 - 3 2x + 3 = 0
〔3〕 x 2
+ 6x - 11 = 0 〔配方法〕
〔4〕 9(2x + 3)2 - 4(2x - 5)2 = 0
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2
bx + c = 0 〔 a,b, c 是常数，且a ¹ 0 〕的根的判别式是b 2
4ac .
b 2 - 4ac >0 Û 方程有两个不相等的实数根b 2 - 4ac =0 Û 方程有两个相等的实数根b 2 - 4ac <0 Û 方程没有实数根
例 3 关于 x 的方程(k - 1)x 2 + 2x - 5 = 0 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.
4
解：由题意得， 22 - 4(k -1) × (-5) > 0 . 解得， k > .
5
且 k - 1 ¹ 0 ，即k ¹ 1 .
4
∴ k >
且k ¹ 1 .
5
留意例 4 这类题中“有两个不相等的实数根”示意方程是关于 x 的二次方程，隐含二次项系数k - 1 ¹ 0 这一条件.
例 4．假设关于 x 的方程mx 2 - (2m - 2)x + m - 4 = 0 有两个实数根，则m 的取值范围是 ．
变式 1：假设关于 x 的一元二次方程 mx 2 - (2m - 2)x + m - 4 = 0 有实数根，则 m 的取
值范围是 ．
变式 2：假设关于 x 的方程 mx 2 - (2m - 2)x + m - 4 = 0 有实数根，则 m 的取值范围是 ．
变式 3：假设二次函数 y = mx 2 - (2m - 2)x + m - 4与 x 轴有两个交点，则m 的取值范
围是 ．
ì y = mx + 2
- + =
变式 4：假设方程组í
îxy 2 y m 0
有两个实数解，则m 的取值范围是 ．
变式 5：一次函数 y = - x + 6 和反比例函数 y =
交点，则k 的取值范围是 ．
k
在同一坐标平面内的图象有两个
x
〔选作〕例 5 ：关于 x 的一元二次方程x2 - (m +1)x + m -1 = 0 ． 求证：不管m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
证明：∵ D = b2 - 4ac
= [- m( + 12 -) ] m -4 ( 1 )
= m2 - 2m + 5