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2024-2025学年江苏省八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题
 
，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（    ）
A. B. C. D.
 
，正确的是（    ）
A. B. C. D.
 
，属于最简分式的是（    ）
A. B. C. D.
 
，在菱形中，，，是的中点，连接，则线段的长是（   ）
A. B. C. D.
 
，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（    ）
，它是菱形 ，它是菱形
，它是矩形 ，它是正方形
 
中的、都扩大为原来的倍，则分式的值（   ）
 
．已知单独处理数据的时间比少小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ）
A. B. C. D.
 
，矩形的顶点在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接， 轴，则的值为（    ）
A. B. C. D.
 
，上有一动点，以为边作矩形，且边过点，在点从点移动到点的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ）
A. B. C. D.
 
，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（   ）
二、填空题
 
，则的取值范围是___________．
 
：①只含一个字母； ②当时，分式的值为：_____________．
 
，则的取值范围为_____________．
 
，在四边形中，，，连接使平分，，、分别为、的中点，连接、、，则 _____________．
 
，，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是_____________．
 
，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为_____________．
 
，在边长为的正方形内取一点，连接，，，若，，则_____________．
 
，点是正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 到轴距离的最大值是__________．
三、解答题
 
：
（1）；
（2）
 
：
（1）．
（2）．
 
，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点成中心对称，点坐标为．
（1）请直接写出的坐标______；
（2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
 
，在中，点、分别是的中点，，延长到点，使得，连结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
 
，将其抽象成几何图形，如图所示，测得，，，，，已知
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求椅子最高点到地面的距离．
 
，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略．
【洗衣目标】
经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．
重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）．
根据以上信息完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
 
：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
…
（1）猜想关于方程的解，并利用“方程解的概念”进行验证；
（2）利用结论解分式方程：
①
②．
 
，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，．
（1）若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式；
（2）若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标．
 
：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当，时，；
，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，的最小值为_______ ；
（2）当时，求当取何值， 有最小值，最小值是多少？
（3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和，求四边形的面积的最小值．
 
，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连接交于，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）过作于点，连接，则的值．
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
中心对称图形
【解析】
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】
解：选项、、中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
2.
【答案】
D
【考点】
二次根式的乘法
二次根式的除法
二次根式的加减混合运算
【解析】
本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加法和乘法除法运算法则，由二次根式的加法和乘法除法运算法则、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：、，计算错误，不符合题意；
、，计算错误，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并计算，不符合题意；       
、，计算正确，符合题意；
故选：．
3.
【答案】
C
【考点】
最简分式
平方差公式分解因式
约分
【解析】
本题考查分式的性质，根据分式的性质化简各分式，然后逐项判断即可．
【解答】
解：、，故原分式不是最简分式，不符合题意；
、，故原分式不是最简分式，不符合题意；
、是最简分式，符合题意；
、，故原分式不是最简分式，不符合题意；
故选：．
4.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质与判定
利用菱形的性质求线段长
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．
由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，再由等边三角形的性质可以得到，最后利用勾股定理可以求出的长度．
【解答】
解：如图，连接，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
是的中点，
，，
在中，．
故选：．
5.
【答案】
D
【考点】
矩形的判定
正方形的判定
证明四边形是菱形
【解析】
根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个判断即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故此项不符合题意；
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故此项不符合题意；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故此项不符合题意；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，不一定是正方形，故此项符合题意；
故选：．
6.
【答案】
B
【考点】
利用分式的基本性质判断分式值的变化
【解析】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：．
分式的值扩大倍；
故选：．
7.
【答案】
C
【考点】
列分式方程
【解析】
该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程．
【解答】
解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：．
8.
【答案】
C
【考点】
反比例函数综合题
待定系数法求反比例函数解析式
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
根据矩形的性质求线段长
【解析】
过点作轴于，过点作轴于，证四边形是矩形，，，利用矩形与全等三角形的性质求出、长，得出点坐标，再把坐标代入求解即可．
【解答】
解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
点和点，
，，
轴，
轴，，
轴，
四边形是矩形，
，
轴，
，
，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
点在第二象限，
，
把代入，则，
故选：．
9.
【答案】
A
【考点】
根据正方形的性质求面积
根据矩形的性质求线段长
【解析】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，证得矩形的面积是定值是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等．
【解答】
解：连接，如图所示：
，，
矩形与正方形的面积相等，
正方形的边长为，
，
矩形的面积是定值，
矩形的面积的最大值与最小值的和为，
故选：．
10.
【答案】
B
【考点】
利用平行四边形的性质求解
求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
正方形的性质
由平移方式确定点的坐标
【解析】
根据四边形是平行四边形，，即可判断①正确；设，由，易知，通过四边形是平行四边形，，，由平移坐标规律，易得，则轴，且四边形是正方形，进而得，，，，故②③正确；点在直线上，最小值是点到直线的距离，即，故④正确；当值从小变大时，一直变小，故⑤是错误的．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，
，
，故①正确；
设，其中，
由，且，
易知，点在第二象限角平分线上，
又四边形是平行四边形，，，
由平移坐标规律，易得，
则轴，且四边形是正方形，
是点到轴的垂线段
，
，，
，故②③正确；
点在直线上，四边形是平行四边形，
，
最小值是点到直线的距离，即，故④正确；
当值从小变大时，，一直变大，则一直变小，故⑤是错误的；
综上所述，只有⑤是错误的，结论中，错误的有个，
故选：．
二、填空题
11.
【答案】
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于，列出不等式即可求出的取值范围．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件，，
，
故答案为：
12.
【答案】
（答案不唯一）
【考点】
按要求构造分式
分式值为零的条件
【解析】
本题主要考查了分式值为的条件，解题的关键是掌握分式值为的条件．根据分式值为的条件：分子等于零，分母不为零，再构建分式即可进行解答．
【解答】
解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为，
故答案为：（答案不唯一）．
13.
【答案】
且
【考点】
根据分式方程解的情况求值
求一元一次不等式的解集
【解析】
本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．先根据解分式方程的一般步骤求出，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可．
【解答】
解：，
，
解得：，
关于的分式方程的解是正数，
且，
解得：且，
故答案为：且．
14.
【答案】
【考点】
与三角形中位线有关的求解问题
直角三角形斜边上的中线
勾股定理的应用
【解析】
本题主要考查直角三角形中线定理，中位线定理和勾股定理，熟悉掌握相关的判定和性质是解题的关键．因为，平分，求得，因为点分别是的中点, 是直角三角形，根据直角三角形中线定理求得：，，因为点、分别是、的中点,根据中位线定理求得，所以，最后根据勾股定理即可求解．
【解答】
解：，平分，
，
点是的中点, 是直角三角形，
，
，
点、分别是、的中点,
，，
，
，
根据勾股定理得：．
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
比较反比例函数值或自变量的大小
【解析】
本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键．
【解答】
解：，
反比例函数（是常数）的图象在二、四象限，
在每一象限内，随的增大而增大，
在第四象限，，在第二象限，
，，
即，
故答案为：．
16.
【答案】
【考点】
利用平行四边形的判定与性质求解
利用菱形的性质求线段长
勾股定理的应用
翻折变换（折叠问题）
【解析】
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案．
【解答】
解：作交的延长线于点，则，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
17.
【答案】
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
根据正方形的性质求线段长
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．根据正方形得到，，过作于，求得，根据勾股定理得到，，过作于，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
过作于，如图，
，
，
，，
，
，
，
过作于，
，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
18.
【答案】
【考点】
求点到坐标轴的距离
根据矩形的性质求线段长
直角三角形斜边上的中线
【解析】
本题考查等积法，直角三角形斜边中线等于斜边一半，矩形性质等．根据题意取点，即和，当三点共线时点 到轴距离的最大值．
【解答】
解：，即矩形面积为，
，
取点，即，
，
四边形是矩形，
，
，
取为的中点，
，
当三点共线时点 到轴距离的最大值，
，
故答案为：
三、解答题
19.
【答案】
（1）
（2）
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
（1）根据二次根式的基本性质先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘法法则及完全平方公式计算即可．
【解答】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20.
【答案】
（1）
（2）原方程无解
【考点】
此题暂无考点
【解析】
（1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可；
（2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可．
【解答】
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：
当时，，
故是方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：
当时，，
故是方程的增根；原方程无解．
21.
【答案】
（2）见解析
【考点】
判断中心对称图形的对称中心
关于原点对称的点的坐标
作图－平移变换
【解析】
（1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出点的坐标；
（2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
【解答】
（1）解：，与关于原点成中心对称，
；
故答案为：；
（2）解：，平移后点的对应点，
先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
即：如图所示；
（3）解：，，，
，，；
如图所示，
连接，相交于点，
则为对称中心，即：为的中点，
又，，
，即，
故答案为：．
22.
【答案】
（1）见解析；
（2）
【考点】
与三角形中位线有关的求解问题
证明四边形是菱形
等边三角形的性质与判定
勾股定理的应用
【解析】
（1）根据三角形中位线性质，得，根据，得到，结合，推出四边形是平行四边形，推出平行四边形是菱形；
（2）根据菱形性质得到， ，得到是等边三角形，过点作于点，求出，然后根据菱形面积公式求解即可．
【解答】
解：（1）证明：、分别是的中点，
是的中位线，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：由知，四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
．
过点作于点．
．
．
．
23.
【答案】
（1）见解析
（2）
【考点】
勾股定理的应用
平行四边形的性质与判定
等腰三角形的判定与性质
【解析】
（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论；
（2）由平行四边形的性质得，延长交于，由可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解．
【解答】
解：（1）证明：，，，
，，
则，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
延长交于，
由可知，，，
四边形是平行四边形，
，，
则，，
连接，
，
，，
，
，
，
即：椅子最高点到地面的距离为．
24.
【答案】
（1）只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水；
（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题主要考查了分式方程的应用，代数式的求值等知识点，
依题意，直接代入公式求解即可得解；
依题意，先求得第一次漂洗后的洗衣液溶度，再求第二次漂洗后洗衣液的溶度看是否即可；
正确根据题意代入公式求解是解决此题的关键．
【解答】
（1）解：依题意，把代入：，
解得：,经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水；
（2）解：第一次漂洗：把代入：，得,
第二次漂洗：把代入：，得，
,
进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
25.
【答案】
（1）解为 ，验证见解析
（2）①；②
【考点】
此题暂无考点
【解析】
（1）猜想得到方程的解，验证即可；
（2）①利用的结论确定出方程的解即可．②设，则，原方程变形为，可得，即可求解．
【解答】
（1）解：根据题意得：关于方程的解为 ，
验证：把代入得：左边右边，
把代入得：左边右边；
（2）解：①，
，
或，
解得：；
②设，则，
原方程变形为，
即，
，
，
，
，
解得：，
或
解得：．
26.
【答案】
（1），
（2）或
【考点】
反比例函数综合题
一次函数与反比例函数的交点问题
求一次函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标．
【解答】
（1）解：矩形的边在轴上，点的坐标分别为，，
，，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
点直线上，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：情况一：延长至，使，连接，则，
在 中，当 时，，
，
，
过点作直线 交直线于，则，
设直线的解析式为，
则，得 ，
，
设直线的解析式为，代入 解得：，
，
当时，
点；
情况二：在上取点，使，连接，则，，
过点作直线 交直线的延长线于，则，
设直线的解析式为，代入 解得：，
，
当时，
点；
综上所述，点坐标为或．
27.
【答案】
（2）当时，有最小值，为
（3）四边形面积的最小值为
【考点】
完全平方公式分解因式
利用二次根式的性质化简
通过对完全平方公式变形求值
【解析】
（1）当时，直接根据公式计算即可；
（2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可；
（3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可．
【解答】
（1）解：当时，，
的最小值为；
（2）解：，
，
而，
当时，
，
解得：或（不符合题意，舍去）
即时，等号成立，
，
当时，有最小值，为
（3）解：设，
与同高，与同高，
，
由题知，，
，
，
，
，
，
四边形面积的最小值为
28.
【答案】
（1）见解析
（2）见解析
（3）
【考点】
根据正方形的性质证明
全等三角形的应用
等腰三角形的判定与性质
与三角形中位线有关的求解问题
【解析】
（1）利用证明即可；
（2）延长至，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明；
（3）过点作交于，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则．
【解答】
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，且使，连接、，如图所示：
则，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
为的中点，
为的中位线，
，
，
，
即；
（3）解：过点作交于，如图所示：
则，
，
，
，
，
，，
由角的互余关系得：，
，
在和中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
试卷第27 27页，总9 !Undefined Bookmark, 页