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△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,·-·=λ
(1)若λ=1,判断△ABC的形状;
【解析】(1)根据题意,·-·=λ,
即||·||cos A-||·||cos B=λ||2,
所以bcb2+c2-a22bc-aca2+c2-b22ac=λc2,
化简得b2-a2=λc2,
当λ=1时,得b2=c2+a2,即△ABC为直角三角形.
(2)若λ=12,求tan(B-A)的最大值.
【解析】(2)当λ=12时,由(1),得b2-a2=12c2,
根据正弦定理,得sin2B-sin2A=12sin2C,
即(sin B-sin A)(sin B+sin A)=12sin2C,
根据和差化积公式,
得2sinB+A2cosB-A2·2cosB+A2sinB-A2=12sin2(A+B),
即2sin(B-A)=sin(A+B),
化简得3sin Acos B=cos Asin B,
所以3tan A=tan B.
设tan A=t,则tan B=3t,(t>0)
所以tan(B-A)=3t-t1+3t2=2t1+3t2=21t+3t≤221t·3t=33,
当且仅当1t=3t=3,即t=33时,等号成立,
即当A=π6,B=π3时,tan(B-A)取最大值为33.
(x)=x-aln x,a∈R.
(1)当a=2时,曲线y=f(x)与曲线f1(x)=-x2+m恰有一条公切线y=-x+t,求实数m与t的值;
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,可得f'(x)=1-2x,
令f'(x)=1-2x=-1,可得x=1,
又因为f(1)=1,所以切点(1,1)在直线y=-x+t上,则t=2.
因为f1(x)=-x2+m,
所以f'1(x)=-2x,令f'1(x)=-1,则x=12,
在直线y=-x+2中,
令x=12,可得y=32,
又因为点(12,32)在曲线f1(x)=-x2+m上,所以m=74.
(2)若函数h(x)=x-aln x-1x有两个极值点x1,x2(x1<x2)且h(x2)-h(x1)≥-4e,求a的取值范围.
【解析】(2)函数h(x)=x-aln x-1x,
可得h'(x)=1-ax+1x2=x2-ax+1x2(x>0),
因为函数h(x)有两个极值点,
所以x2-ax+1=0有两个不相等正根,
则x1+x2=ax1x2=1a>20<x1<1<x2,
由h(x2)-h(x1)=x2-aln x2-1x2-x1+aln x1+1x1=(x2-x1)+a(ln x1-ln x2)+x2-x1x1x2
=2(1x1-x1)+2(x1+1x1)ln x1≥-4e,
可得(1x1-x1)+(x1+1x1)ln x1≥-2e,
令g(x)=1x-x+(x+1x)ln x(0<x<1),g'(x)=-1x2-1+(1-1x2)ln x+1+1x2=(1-1x2)ln x>0,
所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.
因为g(1e)=e-1e+(1e+e)×(-1)=-2e,
所以由(1x1-x1)+(x1+1x1)ln x1≥-2e,
可得1e≤x1<1,
令函数m(x)=x+1x,x∈[1e,1),
可得m'(x)=1-1x2=x2-1x2<0,
所以m(x)在[1e,1)上单调递减,
可得m(x)>m(1)=2,m(x)max=m(1e)=1e+e,
又因为a=x1+1x1,
所以a的取值范围是(2,e+1e].
,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=CD=2,BC=3,A1C1与B1D1交于E,G为棱BB1上一点,且BB1=3BG,点C1到平面A1BD的距离为101717.
(1)判断AG是否在平面AED1内,并说明理由;
【解析】(1)以A为坐标原点,过A作与AD垂直的直线为x轴,AD,AA1所在的直线分别为y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,设直四棱锥的高为m,
则D(0,2,0) , B(2,-1,0),C1(2,2,m) , A1(0,0,m),A(0,0,0),B1(2,-1,m),D1(0,2,m),G(2,-1,m3),=(2,-1,-m),=(2,2,0),=(0,2,-m),
设平面A1BD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则,
即2x1-y1-mz1=02y1-mz1=0,取n1=(3m,2m,4).
所以点C1到平面A1BD的距离为d==|6m+4m|9m2+4m2+16=10|m|13m2+16,
令10|m|13m2+16=101717,解得m=2.
设平面AB1D1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由=(2,-1,2),=(0,2,2),
则,
即2x2-y2+2z2=02y2+2z2=0,
取n2=(-3,-2,2),而=(2,-1,23),所以·n2=2×(-3)+(-1)×(-2)+23×2=-83≠0,
又AB1与AE,AD1共面,故直线AG不在平面AED1内.
(2)求平面AD1E与平面AA1D1D所成角的余弦值.
【解析】(2)由(1)知平面AED1的一个法向量为n2=(-3,-2,2),
易知平面AA1D1D的一个法向量为n3=(1,0,0),
设二面角E-AD1-A1的平面角为α,
则cos α=|n2·n3|n2||n3||=39+4+4×1=31717,
故二面角E-AD1-A1的余弦值为31717.
①a3+a5=14;②S4=28;③a8是a5与a13的等比中项,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
问题:已知an为公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,bn为等比数列,其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数,a1=b1,
(1)求数列an,bn的通项公式;
(2)令cn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,求c1+c2+c3+…+c100的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】若选①:1由已知b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,q=b3b2=2,所以bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1,故a1=b1=1,
不妨设an的公差为d(d≠0),则1+2d+1+4d=14,解得d=2,所以an=2n-1.
2由cn=lg an,则c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,
所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.
若选②:1由已知b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,q=b3b2=2,所以bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1,故a1=b1=(d≠0),则4×1+4×32×d=28,
解得d=4,所以an=4n-3.
2由cn=lg an,则c1=c2=c3=0,c4=c5=…=c25=1,c26=c27=…=c100=2,
所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172.
若选③:1由已知b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,q=b3b2=2,所以bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1,
故a1=b1=1.
不妨设an的公差为d(d≠0),
则1+7d2=1+4d1+12d,
因为d≠0,解得d=2,
所以an=2n-1.
(2)由cn=lg an,则c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,
所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.