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一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) .
(2) 曲线与轴所围成的图形的面积 .
(3) .
(4) 设连续,则 .
(5) 曲线的渐近线方程为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设数列与满足,则下列断言正确的是 ( )
(A) 若发散,则发散 (B) 若无界,则必有界
(C) 若有界,则必为无穷小 (D) 若为无穷小,则必为无穷小
(2) 函数的不可导点的个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(3) 已知函数在任意点处的增量其中是比高阶的无穷小,且,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设函数在的某个邻域内连续,且为其极大值,则存在,当时,必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有
( )
(A) (B) (C) (D)
三、(本题满分5分)
求函数在区间内的间断点,并判断其类型.
四、(本题满分5分)
确定常数的值,使
五、(本题满分5分)
利用代换将方程化简,并求出原方程的通解.
六、(本题满分6分)
计算积分.
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(从海平面算起),从海平面由静止开始铅直下沉,,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,,并求出函数关系式.
八、(本题满分8分)
设是区间上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在上以为曲边的梯形面积.
(2) 又设在区间内可导,且,证明(1)中的是唯一的.
九、(本题满分8分)
设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点
处的切线方程为,求该曲线的方程,并求函数的极值.
十一、(本题满分8分)
设,证明：
(1)
(2)
十二、(本题满分5分)
设,其中是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,
求.
十三、(本题满分8分)
已知,问：
(1) 取何值时,不能由线性表示？
(2) 取何值时,可由线性表示？并写出此表达式.
答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
.
方法2：采用洛必达法则.
原式
.
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,
,,
从而 原式
.
(2)【答案】
【分析】求曲线与轴围成的图形的面积,应分清楚位于轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与轴交点.
与轴的交点,即的根
为
当时,；当时,,从而
(3)【答案】
因为,所以
.
(4)【答案】
作积分变量代换,
,
,
.
【相关知识点】：若,,均一
阶可导,则
.
(5)【答案】
题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
由曲线方程知,铅直渐近线可能在两处：及,但题设,所以不予考虑,,
,
所以无铅直渐近线；
因
故无水平渐近线.
再考虑斜渐近线:
,
(时,)
所以有斜渐近线.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
由及可知为两个无穷小之积,故亦为无穷小,应选(D).
方法2:排除法.
(A)的反例:满足题设,但不发散；
(B)的反例:,
满足,但不是有界数列；
(C)的反例:有界数列,满足,但不是无穷小；
排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).
(2)【答案】(B)
当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,、右导数.
由
,
,
,
,
所以在处不可导.
类似,,故应选(B).
(3)【答案】(A)
由有
令得是的高阶无穷小,则,
即 .
分离变量,得
两边积分,得 ,即
代入初始条件得所以,.
故
(4)【答案】(C)
由是的极大点,知存在,当时,,即
.因此,
当时,
当时,.
所以,(A)与(B)都不正确.
已知在处连续,由函数在一点连续的定义可知,,再由极限四则运算法则可得
.
应选(C).
(5)【答案】(B)
对任何阶矩阵都要成立的关系式,,当可逆时,由,有
.
故应选(B).
一般地,若,有,那么矩阵的第行列元素的代数余子式为
即中每个元素的代数余子式恰好是相应元素的代数余子式的倍,因而,按伴随矩阵的定义知的元素是对应元素的倍.