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一、选择题
要求：从每题的四个选项中，选择一个最符合题意的答案。
1. 若函数f(x) = ax² + bx + c的图像开口向上，且在x = 1时取得最小值，则下列说法正确的是（ ）
A. a > 0, b = 0, c < 0
B. a < 0, b = 0, c > 0
C. a > 0, b ≠ 0, c > 0
D. a < 0, b ≠ 0, c < 0
2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 150，则该数列的公差d等于（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题
要求：将正确答案填入空格中。
3. 若函数f(x) = x² - 2ax + a²在x = a时取得最大值，则a的值为______。
4. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
5. 若等比数列{bn}的公比为q，且b1 = 2，b3 = 8，则q的值为______。
三、解答题
要求：写出解题过程，并给出最终答案。
6. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x + 2，求：
（1）函数f(x)的图像与x轴的交点个数；
（2）函数f(x)在x = 1时的切线方程。
四、应用题
要求：根据题意，列出方程或方程组，并求解。
6. 某公司计划投资100万元，用于购买设备。若购买甲设备每台需投资5万元，乙设备每台需投资3万元，丙设备每台需投资2万元。已知甲设备每台可生产100件产品，乙设备每台可生产150件产品，丙设备每台可生产200件产品。公司希望投资后能生产至少800件产品。问：为了达到这个目标，公司至少需要购买多少台甲设备？
五、证明题
要求：写出证明过程，并给出结论。
7. 证明：对于任意正整数n，都有1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
六、计算题
要求：计算下列表达式的值。
8. 计算下列积分：
∫(x² - 3x + 2)dx
本次试卷答案如下：
一、选择题
1. A. a > 0, b = 0, c < 0
解析：函数f(x) = ax² + bx + c的图像开口向上，说明a > 0。在x = 1时取得最小值，说明该点为顶点，顶点的x坐标为-b/(2a)，因此b = 0。由于是顶点，y坐标最小，即c < 0。
2. A. 2
解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。已知S5 = 50，S10 = 150，可以列出方程组：
5(a1 + a5)/2 = 50
10(a1 + a10)/2 = 150
解得a1 = 5，a5 = 15，所以公差d = (a5 - a1)/4 = 2。
二、填空题
3. a
解析：函数f(x) = x² - 2ax + a²是一个完全平方公式，其顶点坐标为(a, f(a))。在x = a时取得最大值，所以a的值为该函数的顶点x坐标。
4. 75°
解析：在三角形中，三个内角的和为180°。已知∠A = 60°，∠B = 45°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。
5. 2
解析：等比数列的第三项b3 = b1 * q²。已知b1 = 2，b3 = 8，代入公式得8 = 2 * q²，解得q = 2。
三、解答题
6. （1）2
解析：求函数f(x)的图像与x轴的交点个数，即解方程f(x) = 0。f(x) = x³ - 3x² + 4x + 2，通过因式分解或使用求根公式，得到f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1)。因此，f(x)与x轴的交点个数为3。
（2）y = 2x - 1
解析：求函数f(x)在x = 1时的切线方程，需要先求出f(x)在x = 1时的导数f'(x)。f'(x) = 3x² - 6x + 4，代入x = 1得f'(1) = 1。切线方程的斜率为f'(1)，且通过点(1, f(1))，即(1, 2)。所以切线方程为y - 2 = 1(x - 1)，化简得y = 2x - 1。
四、应用题
6. 5
解析：设购买甲设备x台，乙设备y台，丙设备z台。根据题意，有以下方程组：
5x + 3y + 2z = 100
100x + 150y + 200z ≥ 800
解得x ≥ 5，因此公司至少需要购买5台甲设备。
五、证明题
7. （证明略）
解析：这是一个已知的数学公式，可以通过数学归纳法进行证明。证明过程如下：
当n = 1时，1² = 1(1 + 1)(2*1 + 1)/6，等式成立。
假设当n = k时，等式成立，即1² + 2² + 3² + ... + k² = k(k + 1)(2k + 1)/6。
当n = k + 1时，1² + 2² + 3² + ... + k² + (k + 1)² = k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)²。
化简得1² + 2² + 3² + ... + k² + (k + 1)² = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6。
因此，等式对于n = k + 1也成立。由数学归纳法，等式对于所有正整数n都成立。
六、计算题
8. ∫(x² - 3x + 2)dx = (1/3)x³ - (3/2)x² + 2x + C
解析：这是一个基本的积分问题，直接使用积分公式进行计算。对每一项分别积分得：
∫x²dx = (1/3)x³
∫-3xdx = -(3/2)x²
∫2dx = 2x
所以，∫(x² - 3x + 2)dx = (1/3)x³ - (3/2)x² + 2x + C，其中C为积分常数。