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厦门双十中学2011届高三热身考试理科数学试题
满分：150分 时间：120分钟
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
，，则集合等于 ( ▲ ) ．
A． B． C． D．
2．已知，为虚数单位，若，则的值等于 ( ▲ ) ．
A．0 B．－1 C．1 D．2
{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于 ( ▲ ) ．
A. B. C. D.
4．已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是 ( ▲ ) ．
A．若，则 B．若上有两个点到的距离相等，则
C．若，则 D．若，则
5．已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆 上，且满足（为坐标原点），，若椭圆的离心率等于, 则直线的方程是 ( ▲ ) ．
A． B． C． D．
6．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像 ( ▲ )
A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 ( ▲ ) ．
，则函数的零点个数为 ( ▲ ) ．
A．1 B．2 C．3 D．4
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9．,现向点所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使且x2≥1的区域的概率为 ( ▲ ) ．
A． B． C． D．
，切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,O为坐标原点，M为PF 的中点，则 与的大小关系为 ( ▲ ) ．
A． B．
C． D．.不能确定
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置．
11．已知函数= ▲ ．
，，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 ▲ ．
13．设等差数列的前n项和为，若，则= ▲ ．
，且，实数，
满足．设，，，的面积分别为，，，， 记，，．则取最大值时，的值为 ▲ ．
15．“点动成线，线动成面，面动成体”。如图，轴上有一条单位长度的线段，沿着与其垂直的轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体）。请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有个顶点，条棱，个面，则的值分别为 ▲ ．
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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
在锐角中，三内角所对的边分别为．
设，
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）求的最大值.
17.（本小题满分13分）
已知圆的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所求轨迹上是否存在一点，使得为钝角？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．输出“中奖”
开始
输入
结束
输出“谢谢”
否
是
18．（本小题满分13分）
某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，（，），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；
（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．
A
C
B
D
E
19．（本小题满分13分）
某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求、边的长分别为和外，还特别要求包装盒必需满足：①平面平面；②平面与平面所成的二面角不小于；③包装盒的体积尽可能大。
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若设计部门设计出的样品满足：与均为直角且长，矩形的一边长为，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知数列满足，数列满足，数列
满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ），，试比较与的大小，并证明；
（Ⅲ）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢，若会，请求出的范围，若不会，请说明理由．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，向量．
(I)求矩阵的特征值、和特征向量；
(II)求的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
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（Ⅰ）已知：a、b、（Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.
厦门双十中学2011届高三热身考试理科数学参考答案
1-5．ACDCA 6-10．ABDCB
11．2 12． 13．9 14． 15．
16．解：（Ⅰ）
即 , , ……3分
由得
时， 舍去， …………………………………5分
. …………………………… ………7分
（Ⅱ） ……………………………9分
……………………11分
当且仅当时取等号 . ………………13分
17．解: （Ⅰ）设动圆P的半径为r,则
两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为，实轴长为4的椭圆
其方程为 …………………………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在，设（x,y）.则因为为钝角，所以
，，
又因为点在椭圆上，所以
联立两式得：化简得：，
解得：，所以存在。………………………………………………… 13分
:（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有
共9个， …………………………………2分
设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，
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且事件所包含的基本事件有共2个，∴. ……………………4分
（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，
的可能取值为. …………………………………5分
，，
．
∴的分布列为
900
9900
……………………………8分
∴． ……………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为.
∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，
∴该机构此次收益期望为元=万元，
∵，
∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. …… ……………………13分
19．解：该包装盒的样品设计符合客户的要求。
（1）以下证明满足条件①的要求.
∵四边形为矩形，与均为直角，
∴且 ∴面，
在矩形中，∥
∴面∴面面 ………………………………………………3分
（2）以下证明满足条件②、③的要求.
∵矩形的一边长为，
而直角三角形的斜边长为，∴
设，则，
以为原点，分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设面的一个法向量为，，
∵
∴，取，则………………………6分
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而面的一个法向量为，
设面与面所成的二面角为，则，
∴， ∴，
即当时，面与面所成的二面角不小于. ……………………………8分
又， 由与均为直角知，面，该包装盒可视为四棱锥，
当且仅当，即时，的体积最大，最大值为. …………………………………………………………………………………12分
而，可以满足面与面所成的二面角不小于的要求，
综上，该包装盒的设计符合客户的要求。 ………………………………………13分
20．解：（1）依题意得：，所以是等差数列，首项，公差，
所以，从而； ……………………………3分
（2）由（1）得，构造函数 则
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，即，当且仅当时取等号， ………5分
所以，即，当且仅当时取等号，
所以
当且仅当时取等号； …………………………………8分
（3）由（1）知，不妨设恒成立，且，
则，等价于， …………10分
记，则在上单调递减，
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所以恒成立；
所以 ……………………………12分
记，，所以，
所以在上单调递增，所以
所以为所求范围． ……………14分
21．（1）解：
（I）的特征多项式为
令，得1， ……………………………………………………2分
当1时，得；当时，得 ……………………………4分
(II)由得，得 ……………………………5分
…………………………7分
（2）解：（Ⅰ）化简为，
∴直线l的直角坐标方程为； ……………………………………………3分
（Ⅱ）设点P的坐标为，
得P到直线l的距离， ………………………………………5分
即，其中．
当时，． …………………………………………7分
（3）m 解：（Ⅰ），
，
………………………4分
（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c，
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………………………7分