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2011年福州市高中毕业班质量检查
数学理科试卷
(满分150分，考试时间120分钟)
参考公式：
样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．）
=(a2－3a+2)+(a－1)i为纯虚数,则实数a的值 ( ).
(x)=x3+x－2在点处的切线平行于直线y=4x－1,则P0点的坐标为( )
A.(1,0)或(－1,-4) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,-4)
3. 已知数列为等差数列，且的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 给定下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
，某同学获得一组实验数据如下表：
x
3
4
y
12
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对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
＝2x－2 ＝()x ＝log2x ＝(x2－1)
( )
S＝1，k＝1
输出S
开始
否
是
k＝k＋1
S＝2S
结束
k＞2010?
S＜1?
S＝ S
是
否
(第8题)
A. 80 B. D.
7. 已知均为单位向量，那么是的（ ）
，则该程序运行后输出的S的值为( )
B. C. D.
、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上
一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于,则满足条件的点M有( )个.
(x+1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为( ).
A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.(－∞,1)
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）
(用数字作答)
12. 在等比数列中，首项，，则公比为 .
，其三视图如右图所示,根据图中的信息，在四棱锥的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 .
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，则使得函数有零点的概率为 .
，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ……………………………………
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）
16．（本小题满分13分）
已知函数, ．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P,求与的夹角的余弦．
17．（本小题满分13分）
“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
D
A
B
E
F
C
（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量，求的分布列及其期望．
18．（本小题满分13分）
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4.
(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；
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(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°．
19．（本小题满分13分）
已知点M(k,l)、P(m,n),(klmn≠0)是曲线C上的两点，点M、N关于轴对称，直线MP、NP分别交轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示和;
（Ⅱ）当曲线C的方程分别为： 、时，探究的值是否与点M、N、P的位置相关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为时，探究与经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).
20．（本小题满分14分）
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；
(Ⅱ)当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
21．（本小题满分14分）本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成. 求矩阵M．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数）．
现以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，写出曲线的极坐标方程．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
解不等式．
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数学理科试卷参考答案和评分标准
一．选择题
二．填空题 11． 12．3 13．6 14．1－ 15．
三．解答题
16．解：（Ⅰ）∵
=．-----------------------------2分
∵ ∴，
∴函数的最大值和最小值分别为1，—1．---------------4分
（Ⅱ）解法1：令得,
∵ ∴或 ∴ -----------------------6分
由，且得 ∴ -----------------------------8分
∴ ------------------------------------------10分
∴ ．---------------------------------------13分
解法2：过点P作轴于,则
由三角函数的性质知, ---------------6分
,-----------------------------------------------------------8分
由余弦定理得---------------------------10分
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=．---13分
解法3：过点P作轴于,则
由三角函数的性质知,----------------------6分
----------------------------------------8分
在中，-------------------------------10分
∵PA平分 ∴
．------------------------------------------------------13分
17．解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本事件，--------------------3分
玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率．--------------------6分
（Ⅱ）的可能取值分别为0，1，2，3．
，，
，．--------------------10分
的分布列如下：-------------------11分
0
1
2
3
（或：，）．------------------13分
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18．解：方法一：（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE………………3分
A
B
E
F
C
H
由已知条件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF，
D
又DC与EC相交于C，……………………………………5分
∴EF⊥平面DCE……………………6分
（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC,
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为
二面角A-EF-C的平面角．……8分
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴…………10分
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°……………………13分
D
A
B
E
F
C
y
z
x
方法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．……………………7分
设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F（0，4，0）．
从而………………9分
设平面AEF的法向量为，由得，
，取x=1，则，
即，…………………………11分
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不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．………………13分
19．解：（Ⅰ）依题意N(k,－l)，且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：……2分
M、P、N为不同点，直线PM的方程为，……3分
则，同理可得.……5分
（Ⅱ）∵M,P在圆C：x2+y2=R2上,
,(定值).
∴的值是与点M、N、P位置无关. ……8分
同理∵M,P在椭圆C：上,
,(定值).
∴的值是与点M、N、P位置无关. ………11分
（Ⅲ）一个探究结论是：． ………13分
证明如下：依题意, ,.
∵M,P在抛物线C：y2=2px(p>0)上,∴n2=2pm,l2=2pk.
.
∴为定值.
20．解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,.
因为x=0是F(x)的极值点,所以.………2分
又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, .
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∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意. ………4分
(Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.
令当x>0时恒成立.
∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1. ………9分
(Ⅲ)令
则.
因为当x≥0时恒成立, ………11分
所以函数S(x)在上单调递增, ………12分
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立;
因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立.
当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.
故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立. ………13分
21．（1）解：设M=，则=3=，故……………3分
=，故 ……………5分
联立以上两方程组解得a=，b=4，c=，d=6，故M=． ………7分
（2）解：曲线的直角坐标方程是，……3分
因为，，…5分
故曲线的极坐标方程为，即．……7分
（3）解：令，则
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．．．．．．．3分
作出函数的图象，
它与直线的交点为和．．．．．．．．6分
所以的解集为．．．．．．．．7分