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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．若集合，，则A∪B=
A． B． C． D．
2．设i是虚数单位，若复数，则z=
A． B． C． D．
3．已知向量=（2，x），=（1，2），若∥，则实数x的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设则sin2?=
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
6．下列有关命题的说法正确的是
A．若"p∧q"为假命题，则p,q均为假命题
B．"x=-1"是的必要不充分条件
C．命题"若x>1,则 "的逆否命题为真命题
D．命题使得的否定是："∃x∈R,均有 "
7．元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0时，问一开始输入的x=
A． B． C． D．
8．若在△ABC中，，则此三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
9．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
10．已知函数满足对任意，都有成立， 则实数a的取值范围是
A． B． C． D．(1,+鈭?
11．已知在区间上有最大值，则实数a的取值范围是
A．a<-1 B．-2≤a<3 C．-2≤a<1 D．-3<a<1
12．在等腰直角ΔABC中，AC=BC，D在AB边上且满足:,若 ，则t的值为
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，则sin?=___________．
14．已知向量a=(λ,3),b=(3,-2)，如果a与b的夹角为直角，则λ=_________.
15．已知函数在(-2,-1)上单调递减，则a的取值范围是____________.
16．设是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有，且当时，.在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）当时，f(x)的最小值为5，求m的值.
18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB-bc:fareaosA=0．
（1）求角A的大小：
（2）若，b=2．求△ABC的面积．
19．如图,在四棱锥中,棱底面,且, , , 是的中点.
(1)求证: 平面；
(2)求三棱锥的体积.
20．已知椭圆： 的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点， 的周长为16．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为原点，圆： （）与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证： 为定值．
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求a的值.
22．直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线.
（1）在以为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；
（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
2019届吉林省东北师大附中
高三二模数学（文科）试卷
数学 答 案
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接利用集合并集的定义求解.
【详解】
因为，，所以.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法化简即得解.
【详解】
由题得=.故答案为：A
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
3．D
【解析】解：向量=（2，x），=（1，2），∥，
可得x=4．
故选：D．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
4．B
【解析】
【分析】
把已知方程两边同时平方,结合二倍角公式即可得解.
【详解】
：B
【点睛】
本题主要考查同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
5．C
【解析】
试题分析：由题意，求函数的零点，即为求两个函数的交点，可知等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当x=2时，，当x=e时，，因此函数的零点在(2,e)内，故选C．
考点：1、函数的零点定理；2、函数的单调性.
6．C
【解析】
【分析】
对每一个命题逐一判断得解.
【详解】
A. 若"p∧q"为假命题，则p,q中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "x=-1"是的充分不必要条件，因为由得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若x>1,则 "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题使得的否定是："x∈R,均有 "，所以该选项是错误的.
故答案为：C
【点睛】
本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7．B
【解析】
分析： 根据流程图，求出对应的函数关系式，根据题设条件输出的x=0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．
详解：第一次输入x=x，i=1；
第二次输入x=2x-1，i=2；
第三次输入x=2(2x-1)-1=4x-3，i=3；
第四次输入x=2(4x-3)-1=8x-7，i=4>3，输出8x-7=0，解得.
故选B.
点睛：本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．
8．B
【解析】
【分析】
因为是三角形的内角，所以有即再通过三角变换解得，最终得出结果。
【详解】
，
，
，
，
因为与不为0，所以
即故选B。
【点睛】
本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是中的不可以直接消去，要考虑到的情况。
9．B
【解析】
由于，，且，
故此函数是非奇非偶函数，排除A,C；又当时，满足x+cosx=x，即的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D， 故选B．
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除
10．B
【解析】
【分析】
先由函数对任意，都有成立得到函数在定义域内单调递减，再根据数形结合得到a的不等式组，解之即得解.
【详解】
因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，
所以.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判定及其运用，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
11．C
【解析】
【分析】
根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）=﹣+x在（a，10﹣a2）上有最大值所以f′（x）先大于0然后再小于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜10﹣a2，进而求出正确的答案．
【详解】
因为函数f（x）=﹣+x在（a，10﹣a2）上有最大值，则其最大值必是区间上的极大值，
f′（x）=﹣x2+1，令f′（x）=﹣x2+1=0，可得x=±1，分析易得x=1是极大值点．
对于f′（x）=﹣x2+1，结合二次函数的性质可得：a＜1＜10﹣a2，
且f（a）≤f（1），
解得﹣2≤a＜1,
故答案为：C
【点睛】
解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算.
12．A
【解析】
【分析】
易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．
【详解】
解：∵，
∴A，B，D三点共线，
∴由题意建立如图所示坐标系，
设AC=BC=1，
则C（0，0），A（1，0），B（0，1），
直线AB的方程为x+y=1，
直线CD的方程为y=x，
故联立解得，x=，y=，
故D（，），
故=（，），=（1，0），=（0，1），
故t+（1﹣t）=（t，1﹣t），
故（，）=（t，1﹣t），
故t=，
故答案为：A
13．
【解析】
【分析】
先化简已知得，再利用平方关系求解.
【详解】
由题得，因为伪鈭?0,蟺)，所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14．2
【解析】
【分析】
由题得，化简即得解.
【详解】
：2
【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
15．a鈮?1
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质以及一次函数的性质，分离参数a，求出a的范围即可．
【详解】
若函数y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，
则a＜0且ax﹣1＞0在（﹣2，﹣1）恒成立，
即a＜在（﹣2，﹣1）恒成立，
故a≤﹣1，
故答案为：a≤﹣1
【点睛】
本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．解答时不要漏掉了函数的定义域，不要忽视了取等问题.
16．
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象可画出：当﹣6的图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．利用在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即可得出．
【详解】
如图所示，当﹣6，可得图象．
根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），
画出[2，6]的图象．
画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．
∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴loga8＞3，loga4＜3，
∴4＜a3＜8，
解得＜a＜2．
故答案为：
【点睛】
本题考查了指数函数的图象与性质、函数的奇偶性、周期性，考查了方程的实数根转化为函数图象的交点个数，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17．（1）T=π（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意得 ， 所以的最小正周期为T=π．
（2）由（1）得当时，． 所以当时，的最小值为． 所以，即．
【详解】
（1）由题意知： ，
所以的最小正周期为T=π．
（2）由（1）知：，当时，．
所以当时，的最小值为．
又∵的最小值为5，∴，即．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期，考查三角函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18．（1）（2）4
【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据求出，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．
详解：在△ABC中，由正弦定理得．
即，又角B为三角形内角，，
所以，即，
又因为，所以．
（2）在△ABC中，由余弦定理得：，
则． 即．
解得（舍）或．
所以．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
19．(1) 见解析(2)
【解析】试题分析：(1)取中点,连接,利用线面垂直的性质，得到，进而得到平面,又根据三角形的性质，证得，即可证明 平面；
(2)解:由(1)知, 是三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积.
试题解析：
(1)证明:取中点,连接,∵底面, 底面, ,且 平面,又平面,所以.
又∵,H为PB的中点, ,又, 平面,在中, 分别为中点, ,又, ,
， ∴四边形是平行四边形,∴、 平面.
(2)解:由(1)知, ，∴,又,且,
平面, 是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以 .
另解: 是的中点,∴到平面的距离是到平面的距离的一半，
所以.
20．(1) (2)见解析
【解析】试题分析：（1）根据的周长为16，可得，再根据离心率，得出，从而可得椭圆的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得， 两点关于轴对称，设
， ，则，从而得出直线的方程，即可得到点的横坐标，同理可得点的横坐标，从而列出的表达式，化简求值即可得到定值.
试题解析：（1）由题意得，则，
由，解得，
则，所以椭圆的方程为．
（2）证明：由条件可知， ， 两点关于轴对称，设， ，则，由题可知， ，
∴， ．
又直线的方程为，令得点的横坐标，
同理可得点的横坐标.
∴ ，即为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
21．（1）函数的单调减区间为，单调增区间为．
（2）a=1
【解析】
【分析】
（1）直接利用导数求得函数的单调减区间为，单调增区间为．，其中x>0，由题意知在上恒成立，再利用导数求出≥0，记，再利用导数求得所以，即=0，所以a=1.
【详解】
（1）依题意，，令，解得lnx=a-1，故，
故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；
故函数的单调减区间为，单调增区间为．
（2），其中x>0，
由题意知在上恒成立，，
由（1）可知，∴ ，
∴，记，则，令，得a=1．
当a变化时，，的变化情况列表如下：
a
(-鈭?1)
1
(1,+鈭?
+
0
-
G(a)
极大值
∴，故，当且仅当a=1时取等号，
又，从而得到a=1．
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22．（1）曲线的极坐标方程为；（2）.
【解析】【试题分析】（1）利用，消去参数，可求得的普通方程，利用
代入化简，可求得的极坐标方程.（2）将分别代入的极坐标方程，求得， .
【试题解析】
（Ⅰ）曲线:（为参数）化为普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为，
射线与曲线的交点的极径满足，
解得，
所以
23．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）对函数零点分区间去掉绝对值，分段解不等式，最终取交集即可;(2)原不等式等价于存在，使得，即，取交集即可。
解析：
（1）由得，∴，
或，或，解得.
（2）当时， ，∴存在，
使得即成立，
∴存在，使得成立，∴，∴.