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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在等題卡楫应 的位置上.
• • • •
已知集合A二｛-1,0｝,贝IJ满足AUB二｛-1,0,1｝的集合B的个数是 ▲ .
已知° + =b-i (a,be R),其中j为虚数单位，贝ij a + b二 ▲ .
i
在区间卜2, 4］上随机地収一个数x,若兀满足|x|<m的概率仝，则m = A .
6
样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1, -2, 3,第五个值丢失，但该样本的平均值为
1,则样本方差为二▲ •
根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为▲.
函数y = ^-log3x的定义域是 ▲ .
直线3ca + (2 + a)y + 3d = 0与直线(2 — a)x + © + 1 = 0平行的充要条件为 .
已知在棱长为3的正方体ABCD—A0CQ中，P, M分别为线段BQ, 上的点, 若~PD^=2f则三棱锥M_PBC的体积为▲.
如图，在平行四边形ABCD中，4P丄BD,垂足为P,且AP=3,则丽•疋= ▲ .
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(无-需)2+()，-沙=1 (oMO)上存在一点P到 直线/： ,y = 2x-6的距离等于V5-1,则实数d的值为 ▲.
已知等差数列｛匕｝的首项为d,公差为-4,其前斤项和为S”.若存在me N\使 得Sw=36,则实数。的最小值为 ▲
12•已知\ABC的面积为S, M|BC|2=CA-CB + 25，则ZB的值为 = f(x)，/(X)= <｛2)，0~%<2若关
log"兀・ x>2
h
于兀的方程[f(x)]2+a-f(x) + b = O(a. be R)有且只有7个不同实数根，则一的范
a
围是 ▲ •
14•己知正实数九y满足x）2 ^x2y-4xy-exy\nx + 4 = 0 ,则logv y的值为 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明或演算步骤.
(本小题满分14分)
已知 m = （cos a, sin a）
,/2 =（雄_1）,处（0,7t）.
若加丄斤，求角a的值;
求| m + n |的最小值.
(本小题满分14分)
在三棱锥P-ABC中，D为A3的中点.
若与3C平行的平面PDE交AC于点E,求证：点E为AC的中点；
若PA = PB,且/XPCD为锐角三角形，又平jfij" PCD丄平面ABC,求证：AB丄PC.
（本小题满分14分）
如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD, = C£> = 3a/3 m,现用钢
丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1） 如图（1）设两根钢管相距lm,在AB上取一点E,以C为支点将钢丝绳拉直并固 定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）.则BE多长时钢丝绳最短？
（2） 如图（2）设两根钢管相距3^3 m,在处上取一点E,以C为支点将钢丝绳拉直并 固定在地而的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加 固（图中虚线所示）.则BE多长时钢丝绳最短？
（本小题满分16分）
2 2
己知椭圆令+ * = l（d>b>o）的左、右两个焦点分别为片迅，离心率£ =
短轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）点4为椭圆上的一动点（非长轴端点），A鬥的延长线与椭圆交于B点，A0的延 长线与椭圆交于C点，求AABC面积的最大值.
(本小题满分16分)
己知函数/(x) = x2 -(a-2)x-a\nx (aWR)
求函数于(x)的单调区间;
设函数g(x) = -x3 -ax2 + a» 若Waw (O,a],0w [0,a],
4
使得|/(a)-g(0)|va成立,求实数a的取值范围；
若方程/(x) = c有两个不相等的实数根x19x2,求证/｛丄竺]>0.
(本小题满分16分)
数列⑺”｝是公差为d(dHO)的等差数列，它的前〃项和记为A”，数列｛亿｝是公比为 q(qHl)的等比数列，它的前”=勺工0,且存在不小于3的正整数人加， 使鞋=—•
若 q = 1 , d = 2 , q = 3 , m = 4 ,求 A •
若q=l, d = 2，试比较与场加的大小，并说明理由；
若q = 2 ,是否存在整数加,k,使A& =86B『 若存在，求IB m, k的值；若不存在， 说明理由.
第II卷(附加题，共40分)
21•［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；谭進底臬中两題，并在相摩旳等 題g壤内作管.
(选修4 一 1 :几何证明选讲)在\ABC中，已^\AC = -AB. CM是厶CB的平分线,
2
\AMC的外接圆交BC边于点N,求证：BN = 2AM .
a 1
(选修4 一2：矩阵与变换)己知二阶矩阵M= 的特征值2 = -1所对应的一个
_3 b
特征向量弓=；•
求矩阵M；
设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C的方程为巧 =1,求曲线C的方程.
(选修4一4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系兀Oy中，设M是椭圆亠+ \ = 1 («>Z?>0)±在第一象限的点，4(0,0)和3(0,b)是椭圆的两个顶点，求四边形的而 积的
最大值.
(选修4 一5：不等式选讲)政a,b,c,dwR,求证：
yla2+b2 + Vc2 + d2 > y](a + c)2 + (^ + d)2 ,等号当且仅当 ad = be 吋成立.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.(木小题满分10分)
某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》 两场讲座•已知4、B两学习小组各有5位同学， 组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味 数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
⑴若从此10人屮任意选出3人，求选出的3人屮恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率; ⑵若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求
X的分布列和数学期望E(X).
23.(本小题满分10分)
JT
在数列｛%｝中，an = cos ( hg N*)
3x2
(1)试将色+］表示为色的函数关系式；
2
⑵若数列｛仇｝满足bn=l (zigN*),猜想色与仇的大小关系，并证明你的结论.
n-nl
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分, 位置上.
• • •
1. 4 2. 3
共计70分•请把答案填写在答题卡相应的
3. 3 4. 2
5. 145
6.
7.
3
8- 2 °
二、解答题：本大题共6小题， 文字说明、证明或演算步骤.
15. (1)因为加=(cosa,sina),n =(能，一1),且加丄斤
10. 11.
13-〉”心1
71
15 12.—
4
共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
所以 V3cos6r-sincr = 0,
即 tan <7 = V3 ,又 ae (0,7C),
(2)因为加 + 〃 = (cosG + J^sinQ — l),
所以 fn+n =((
coscif+V3)+(sina-l)2 =』5 + 2 V5 cos a - 2 sin a
=(5 + 4cos(q + £)
12分
因为 o w (0,7t),所以 a+—w (—,—),
6 6 6
TT 一 一
故当a + —=兀时，m + n取到最小值1
6
14分
16. (1)平面PDE交AC于点& 即平PDEH平面ABC=DE,
而BC〃平面PDE, BCU平面ABC,所以BC〃Z)E
在厶ABC44,因为D为AB的屮点，所以E为AC中点
sin2 0 cos2 &
sin& +
(l + cos& + sin&)(其中 0v&v&o，tan<90 = 12^~3^ =3).
3a/3
y = 3\/3
一 cos& | sin&
< sin2 0 cos2 0)
(1 + si n& + cos0) +
垃+吗 sin& cos& 丿
(cos&-sin&)
(2)因为用=户丛D为43的中点，所以A3丄PD, 8分
因为平面PCD丄平面ABC,平面PCDCI平而ABC=CDf
在锐角△/>(?£)所在平面内作P0丄CD于点0,则P0丄平面ABC 11分
因为ABU平面ABC,所以PO丄AB,
又 P0CPD=P, P0, PDU平面 PCD,贝ij AB丄平面 PCD,
又PCU平而PCD所以AB丄PC 14分 17•解：(1)设钢丝绳长为ym, ZCFD = 3 ,贝9
3观| ] 尸咯=翳+爲(其屮。<&<%唱tan%=7),心-3辰。心sin.
当 tan & = 时，即 BE = 4^3 时，ymin = 8 .
(2)设钢丝绳长为yrn, ZCFD = 0 ,贝U
(3屈
令)/= 0 得 sin& = cos& ,当 & =号时，即 BE = 6JJ 时 >'min = 6馆(血 + 2).
答：按方法(1), BE = 4g米时，钢丝绳最短；按方法(2), BE = 6羽米时，钢丝 绳最短.
18解析：(1)由题意得2/7 = 2,解得b = l,
故椭圆的标准方程为—+J2=1
Z
（2）①当直线48的斜率不存在时，不妨取
2k2-2
2/+1
AB
J（l + /）・（兀］+可）2 -4斗•兀2
= 2^2
F+1
2/+1
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y = k（x-V）,
y =k{x-i） 联立方程组{壬 .
—+ v =1
2
化简得（2/ +1）兀2-4k2x+2k2-2 = o ,
4k2
设人（兀］,）［）』（七*2），西+七=以苛朋7 =
点0到直线kx-y-k = Q的距离
因为。是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2心咼'
疋+1
= 2a/2
以代+1)
(2/+1)2
①当-a\n^<0时，则|/(q) —巩0贮
= 0<a显然成立，即a >2; nun
综上，MBC面积的最大值为V2 .
：(1) f(x) =(2x~^)(x + 1)(x > 0)
当*0时,f(x) > 0,函数/(兀)在(0,+oo)上单调递增，所以函数/(兀)的单调增区
间为(O.+oo)；
当a>0时,由f(x) > 0得x>y；由f\x) < 0得0 <x<p所以函数/(兀)的单调 增区间为单调减区间为(0,-).
2
(2)当 xg (0,«］时，/(x)min = /(—) = a- — -a\n — ,