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2018-2019学年度第一学期高三期末调研考试
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,，只有一项是符合题目要求的.
，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．
【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，
∴，解得或．
∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
=x−4·(12)x的零点所在的区间是（ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
由于连续函数f（x）满足 f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（12）x的零点所在区间．
【详解】∵y＝x﹣4•（12）x为R上的连续函数，
且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，
∴f（1）•f（2）＜0，
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故函数y＝x﹣4•（12）x的零点所在区间为：（1，2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
,b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则a//b的一个充分条件是（ ）
A. a//α，b//α B. a//α，b//β，α//β
C. a⊥α，b⊥β，α//β D. α⊥β，a⊥α，b//β
【答案】C
【解析】
【分析】
在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得a∥b；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；
【详解】由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
在A中，a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
在B中，a//α，b//β，α//β，则a与b相交、平行或异面，故B错误；
在C中，由a⊥α，α//β，则a⊥β，又b⊥β，由线面垂直的性质可知a//b，故C正确；
在D中，α⊥β，a⊥α，b//β，则a与b相交、平行或异面，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
⊕b=b,a≤ba,a>b，则函数f(x)=1⊕log2x的图像是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可判断．
【详解】从定义运算a⊕b=b(a≤b)a(a＞b)上看，对于任意的a、b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，
∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，
∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．
5.(1−2x)5(2+x)的展开式中，x3的系数是（ ）
A. -160 B. -120 C. 40 D. 200
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为二项式（1﹣2x）5的展开式的系数问题，求出（1﹣2x）5展开式的通项，分别令r＝2，3求出（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数．
【详解】（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1﹣2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1﹣2x）5展开式中x2项的系数的和
∵（1﹣2x）5展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）rC5rxr
令r＝3得到x3项的系数为﹣8C53＝﹣80
令r＝2得到x2项的系数为4C52＝40
所以（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40＝﹣120
故答案为：B
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【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)+1项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，，再由通项写出第r+1项，由特定项得出值，最后求出其参数.
，则该几何体的体积是（ ）
A. 36 B. 32 C. 30 D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．
【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，
四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，
故S四棱锥=S∆ABE+S∆CBE+S∆CDE+S∆ADE+S四边形ABCD=12×4×3+12×5×3+12×5×3+12×4×3+3×3＝36．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．
:x2m−y23=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线C的离心率为（ ）
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A. 4 B. 3 C. 2 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：x2m-y23=1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．
【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），
双曲线C：x2m-y23=1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，
∴c＝2，b2＝3，m＝1，
∴e=ca=21=2．
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．
，若AB=(1,2)，AC=(−x,2x)（x>0），则当BC最小时，∠ACB=（ ）
A. 900 B. 600 C. 450 D. 300
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知BC→=AC→-AB→可求BC→的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．
【详解】∵AB→=（1，2），AC→=（﹣x，2x）（x＞0），
∴BC→=AC→-AB→=（﹣x﹣1，2x﹣2），
∴|BC→|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5
令y＝5x2﹣6x+5，x＞0
根据二次函数的性质可知，当x=35，ymin=165，此时BC最小，
∴CA→=(35，-65)，CB→=（85，45），
CA→⋅CB→=35×85-65×45=0，
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∴CA→⊥CB→，即C＝90°，
故选：A．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题．
(x)=x3+2x2f'(1)+2，且图像在点x=2处的切线的倾斜角为α，则sin(π2+α)cos(3π2−α)的值为（ ）
A. 316 B. −316 C. 417 D. −417
【答案】D
【解析】
【分析】
先对函数进行求导，求出f′（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率
k＝f′（2）＝tanα，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin（π2+α）cos（3π2-α）＝﹣cosαsinα=-sinαcosαsin2α+cos2α=--tanα1+tan2α，代入可求．
【详解】∵f（x）＝x3+2x2f′（1）+2，
∴f′（x）＝3x2+4xf′（1），
∴f′（1）＝3+4f′（1），
即f′（1）＝﹣1，f′（x）＝3x2﹣4x，
∴图象在点x＝2处的切线的斜率k＝f′（2）＝4＝tanα，
则sin（π2+α）cos（3π2-α）
＝﹣cosαsinα
=-sinαcosαsin2α+cos2α
=-tanα1+tan2α
=-417，
故选：D．
【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用．
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，2PB+3PC+PA=0，现将一粒红豆随机撒在ΔABC内，记红豆落在ΔPBC内的概率为PΔPBC，落在ΔPAC内的概率为PΔPAC，⋯，则PΔPBCPΔPBAPΔPAC=（ ）
A. 16 B. 112 C. 518 D. 136
【答案】D
【解析】
【分析】
根据2PB→+3PC→+PA→=0→，计算出△PAB，△PAC，△PBC面积的关系，求出概率，作积得答案．
【详解】如图，令PB1→=2PB→，PC1→=3PC→，PA1→=PA→．
则P为△A1B1C1 的重心，
∴S△PA1B1=S△PA1C1=S△PB1C1，
而S△PAB=12S△PA1B1，S△PAC=13S△PA1C1，S△PBC=16S△PB1C1．
∴2S△PAB＝3S△PAC＝6S△PBC，
∴P△PAB=12，P△PAC=13，P△PBC=16．
则P△PBCP△PBAP△PAC=12×13×16=136．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．
,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，⋯⋯，其相邻的两个1被2隔开，第n对1之间有n个2，则数列的前209项的和为（ ）
A. 279 B. 289 C. 399 D. 409
【答案】C
【解析】
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【分析】
根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.
【详解】根据题意，先把数列分组，
第一组为1，2，有2个数，
第二组为1，2，2，有3个数，
第三组为1，2，2，2，有4个数，
…
第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有nn+32个数，
当n=19时，恰好前19行有209个数，
前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+190×2=399.
故答案为C．
【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n项和公式与分组求和的方法，进行求和．
,β∈[−π4,π4]且|αcosβ|−|βcosα|>0，则下列结论正确的是（ ）
A. |α|>|β| B. |α|<|β| C. α<β D. α>β
【答案】A
【解析】
【分析】
将式子变形得到αcosα>βcosβ，因为余弦函数是偶函数，故αcos|α|>βcos|β|，构造函数fx=|x|cos|x|，通过求导得到函数的单调性，进而得到结果.
【详解】|αcosβ|-|βcosα|>0等价于αcosβ>|βcosα|,即αcosα>βcosβ，因为余弦函数是偶函数，故αcos|α|>βcos|β|，构造函数fx=|x|cos|x|，根据偶函数的定义f(x)=f(-x)得到函数是偶函数，而f(x)在0，π4上，fx=xcosx,f'x=cosx−xsinx>0，故函数单调增，又因为f|α|>f|β|，故得到|α|>|β|.
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小
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；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
={x|−1<x<1}，N={x|xx−1≤0}，则CMN=__________．（用区间表示）
【答案】（-1,0）
【解析】
【分析】
化简集合N，根据补集与交集的定义写出．
【详解】M＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），N＝{x|xx-1≤0}＝[0，1），
则∁MN＝（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x＝0，则开始时输入的x的值为____________
【答案】78
【解析】
【分析】
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求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．
【详解】第一次输入x＝x，i＝1
执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，
执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，
执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，
输出8x﹣7的值为0，解得：x=78，
故答案为：78．
【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．
,y满足x+y−2≥0x−2y+4≥02x−y−4≤0，若z=kx−y的最大值为16，则实数k=__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z＝kx+y得到最大值点A，即可得到答案．
【详解】实数x，y满足x+y-2≥0x-2y+4≥02x-y-4≤0的可行域如图：
x-2y+4=02x-y-4=0得：A（4，4），
同样地，得B（0，2），
z＝kx+y，即y＝﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．
当k＞0时，
目标函数z＝kx+y在A点取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，即16＝4k+4，得k＝3；
当k＜0时，
①当k＞-12时，目标函数z＝kx+y在A点（4，4）时取最大值，
即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，