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一、选择题 (每小题 4 分， 共 32 分)
根据下列已知条件，能唯一画出 的 是 （ ）
， ，
， ，
， ，
，
2．已知 ，直线 交
于点 ，交
于点
是直线
上一动点，过 作直线
的垂
线交 于点 ，连接 ．若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
3．使
乘积中不含
与
项，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．8
4．如图，
是
的高线，
与
相交于点
．若
，且
的
面积为 12，则
的长度为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
5．若关于
的分式方程
无解，则 的值为（ ）
A．0
B．3
C．1 或 D．0 或 1 或
6．将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为 ，宽为 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
的长方形中，当两块阴影部分
A．
B．
C．
D．
7．如图，在 和 中，
交于点 ，连接 ．下列结论：① 分 ．其中正确 的个数为（ ）．
，连接
；②
；③
平分
；④
平
A．4
B．3
C．2
D．1
8．实数
满足
，记代数式
的最大值为 ，最小
值为 ，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
(每小题 4 分， 共 24 分)
9．若分式
有意义，则x 的取值范围是 ．
10．因式分解：
11．某工件的绘制草图如图所示，
于点 ，交 于点
中，
边上的垂直平分线
交
，则
的周长是
在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的 3 倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角
形”．例如，三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”．若 是“三倍角三角形”，且
，则 中最小内角的度数为
有三面镜子如图放置，其中镜子 和 相交所成的角 ，已知入射光线 经
，则镜子
和
相交所成的角
反射后，反射光线与入射光线 平行，若
．（结果用含 的代数式表示）
记对正整数 n ，规定 ，记 ，若正整数
使得 为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
三、解答题 (共 6 小题， 64 分)
解方程及方程组
（1）解方程： ；
（2）解方程组：
；
（3）若
，解方程组：
；
（4）因式分解：
16．如图，在 的方格纸中，
．
的顶点均在格点上，按下列要求作图．
作出图 中 的边 上的高线 （需要标出垂足 点）；
在图 2 中找出一格点 ，使 A， ， ， 所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）；
直接写出（2）中你所作四边形的面积．
17．项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某 数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务．
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以
看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示．
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来
激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求．
任务
一
整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
任务
二
展望：该工厂从 2023 年 8 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少
吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求．
18．（1）如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD 为∠BAC 的平分线交 BC 于 D，求证：AB
＝AC＋CD．（提示：在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE）
如图 2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系，直接写出结
果，不需要证明．
如图 3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD 为△ABC 的外角∠CAF 的平分线，交 BC 的延长线于 点 D，则线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
19．
【基础巩固】（1）如图 1，在
与
中，
，求证：
2 ， 在
三 点在一条直线上，
；
【 尝 试 应 用 】 （ 2 ） 如 图
与
中 ，
与
交于点 ，若
点 为
中点，
① 求 的大小；
【拓展提高】（3）如图 3，
，求
的面积；
与 中，
的面积为 32，求 的长．
，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“
与
交于点
20．给出如下
个平方数∶
”号或“ ”号， 所
得的代数和记为
．
（1）当
时，试设计一种可行方案，使得：
且 最小．
（2）当
时，试设计一种可行方案，使得：
且 最小．
答案
【答案】B
【答案】B
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】A
【答案】B
【答案】B
【答案】x≠3
【答案】
【答案】37
【答案】 或
【答案】
【答案】12（答案不唯一 ）
【答案】（1）解：
去分母得：
，
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为一得：
检验：当 时，
，
，
∴ 是原分式方程的解．
（2）解：
方程组化简为：
，
得：
，
解得：
，
把
代入①得：
，
∴方程组的解为：
．
（3）解：
①+②×2 得
即(x+y)2=12，
①-②×2 得，
，即(x-y)2=8，
即
，
，
∴①
，②
，③
，④
，
解方程组①得：
，解方程组②得：
，解方程组③得：
，解
方程组④得：
，
∵
，
∴方程组的解为
或
．
（4）解：
．
16．【答案】（1）解：如图所示，线段
即为所求；
（2）解：如图所示，四边形
即为所求；
（3）解：四边形 ADBC 的面积为 2.
17．【答案】解：（1）∵7 月份二氧化硫排放量为
，
补全折线统计图如下图所示.
（2）可知 2023 年二氧化硫排放总量为
，
故能达到年度减排要求.
18．【答案】解：（1）证明：在 AB 上取一点 E，使 AE=AC
∵AD 为∠BAC 的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD 和△AED 中，
∴△ACD➴△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD；
AB＝AC＋CD；
猜想：AB=CD﹣AC
证明：在 BA 的延长线上取一点 E，使得 AE=AC，连接 DE，
在△ACD 和△AED 中，
，
∴△ACD➴△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED， 又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
19．【答案】（1）证明：
，
，
即
，
在
和
中，
，
；
（2）解：①
，
，
，
，
同（1）得：
，
，
；
②如图 2，过点 A 作
于点 G，
则
，
由①可知，
，
，
点 F 为 中点，
，
又
，
，
，
，
，
，
，