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七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．宁波天一阁，是中国现存最古老的的藏书阁，距今400 余年间已藏书近 30 万书籍，将数据“30 万”用
科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4． 下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相
同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折
射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若 ， ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是( )
A． B． C． D．
7．如图， ，点 在 上， ， 的延长线交 的延长线于点 ，则图中与
相等的角（不含 ）共有（ ）
: .
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4 个
8．在迎宾晚宴上，若每桌坐 12 人，则空出 3 张桌子；若每桌坐 10 人，则还有 12
x 名，共准备了 y ，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t 是正整数，且 s≤t），如果p×q 在 n 的所有分
解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最优分解，并规定：F（n）＝ .例如 24 可以分
解成 1×24，2×12，3×8，4×6 这四种，这时就有 F（24）＝ ＝ .给出下列关于 F（n）的说法：
①F（6）＝ ；②F（16 ）＝1；③F（n2﹣n）＝ 1﹣ ；④若 n 是一个完全平方数，F（n）＝1.
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知 把长方形 分割成四个小长方形，若已知长方形 的面积，则要求阴影部
分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ）
A．长方形 B．长方形
C．长方形 D．长方形
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若代数式 有意义，则实数 的取值范围为 ．
12．从 、 、 这 3 个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个
这样的等式
13．若 是一个完全平方式，则 n 的值是
14．若关于 ， 的方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组 : .
的解为
15．有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部如图甲，将 A，B 对角放置后构造新的正方形如图乙，
若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 4 和 70，则正方形 A，B 的面积之和为
16．若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
三、解答题（第 17-22题各6 分，第 23-24题各 8 分，共 52 分）
17．（1）计算：
（2）化简： ．
18．分解因式：
（1）
（2）
19．解下列方程组：
（1）
（2）
20．先化简，再求值： ，并在 ，0，2 中选一个合适的数作为 的值代入求
值．
21．已知：如图， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数． : .
22．2024 年 4 月 25 日 20 时 59 分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新
的发展．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成
绩进行整理．数据分成五组，A 组： ；B 组： ；C 组： ；D 组：
；E 组： ．根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，A 组所在扇形的圆心角为 度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在 80 分及以上的成绩为优秀，全校共有 1750 名学生，请估计
全校取得优秀成绩的同学共有多少？
23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售
公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2 辆 型汽车、3 辆 型汽车的进价共计 80 万元；
3 辆 型汽车、2 辆 型汽车的进价共计 95 万元．
（1）求 A、B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你
帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售 1 辆 A 型汽车可获利 8000 元，销售 1 辆 B 型汽车可获利 5000 元，在
（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘
法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又
可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你
根据已有的知识经验，解决以下问题： : .
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图 1 中阴影部分的面积，写出得到的等式 ；
（2）图 2 是由两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成，试
用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现 a、b、c 的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角 中， ，三边分别为 、 、 ， ， ，求 的值；
（4）如图3，五边形 中， ，垂足为 ， ， ， ，
周长为 2，四边形 为长方形，求四边形 的面积．
: .
答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】 （答案不唯一）
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】74
16．【答案】 或 或
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
18．【答案】（1）解：
； : .
（2）解：
．
19．【答案】（1）解： ，
① ②，得 ，
解得 ，
把 代入②，得 ，
所以方程组的解是
（2）解： ，
方程组可化为 ，
② ，得 ③，
① ③，得 ，
解得 ，
把 代入②，得 ，
所以原方程组的解是 ．
20．【答案】解：
: .
，
， ，
， ，
时，原式 ．
21．【答案】（1）证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 度，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
22．【答案】（1）解：根据题意得： （名），
组的学生为 （名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50； : .
（2）解：根据题意得： ，
则扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角为 36 度；
故答案为：36；
（3）解：根据题意得： （名 ，
则估计全校取得优秀成绩的同学约有 805 名．
23．【答案】（1）解：设 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元，
依题意，得： ，
解得： ．
答： 型汽车每辆的进价为 25 万元， 型汽车每辆的进价为 10 万元；
（2）解：设购进 型汽车 辆，购进 型汽车 辆，
依题意，得： ，
解得： ．
， 均为正整数，
， ， ，
共 3 种购买方案，方案一：购进 型车 6 辆， 型车 5 辆；方案二：购进 型车 4 辆， 型车 10 辆；
方案三：购进 型车 2 辆， 型车 15 辆；
（3）解：方案一获得利润： （元 ；
方案二获得利润： （元 ；
方案三获得利润： （元 ．
，
购进 型车 2 辆， 型车 15 辆获利最大，最大利润是 91000 元．
24．【答案】解：（1） ，
（2）发现： ，
理由： 图 2 中图形的面积 ，
， : .
，
；
（3）在直角 中， ，三边分别为 、 、 ，
由（1）（ 2）结论可知： ，
， ，
，
；
（4） ， ， 周长为 2，
，
在 中， ，
，
，
，
，
， ， ，