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实际问题与一元一次方程（一)基础
【学习目标】
；
，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为:问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答．
要点诠释:
(1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量,以及它们之间的关系.
（2)“找”寻找等量关系；
（3）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数；
（4)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;
（5）“解”就是解方程,求出未知数的值．
（6）“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（7）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型
1．和、差、倍、分问题
(1)基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量,现有量＝原有量-降低量．
(2）寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水流速度；
Ⅱ．寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式:
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
(2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
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寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．，，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?
【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(—x）亿立方米．
依题意,-x＝3x+
解得x＝
5。8—x＝—＝4。5(亿立方米）
答:生产运营用水1。3亿立方米，．
【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x,另外一个用含x的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5。8亿立方米．
举一反三：
【变式】（麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?
【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：x+2x+4x＝2800，
解得：x＝400
答:麻商集团第二个季度销售冰箱400台．
类型二、行程问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，,如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米？
【答案与解析】
解:设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+＝5（x-0。5)，解得x＝3．
所以4x+0。5＝4×3+＝12。5(千米）．
答：．
【总结升华】当直接设未知数有困难时,可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的,而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．
【答案】
解：设这段坡路长为a千米,汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时．依题意，得：，
化简得： ．
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显然a≠0,解得
答：汽车的平均速度为千米/时．
2。相遇问题（相向问题)
【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一） 388410 相遇问题】
3． A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行,甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解：设甲经过x小时与乙相遇。
由题意得：
解得，x=
答:甲经过2。75小时与乙相遇．
【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三:
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2。5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
【答案】
解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2。5）千米，根据题意，得:
解得：
(千米）
答：甲每小时行驶12。5千米，乙每小时行驶10千米
3。追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍？
【答案与解析】
解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意,
得，
得：， 小时=10分钟．
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．
4。航行问题（顺逆风问题)
5．一艘船航行于A、B两个码头之间,轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是
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4千米/时，求这两个码头之间的距离．
【答案与解析】
解法1：设船在静水中速度为x千米/时,则船顺水航行的速度为（x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程:3（x+4）＝5（x-4），解得：x=16，
（16+4)×3=60（千米）
答:两码头之间的距离为60千米．
解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时,逆水航行时速度为千米/时,由船在静水中的速度不变得方程：，解得：
答：两码头之间的距离为60千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．
类型三、工程问题
6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水,10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池,现两管同时注水7小时,关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池？
【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”,设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的．
【答案与解析】
解：设乙管还需x小时才能注满水池．
由题意得方程：
解此方程得：x＝9
答:单独开乙管，还需9小时可以注满水池．
【总结升华】工作效率×工作时间=工作量,如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ．
举一反三：
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天,乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天？
【答案】
解：设乙中途离开x天，由题意得
解得:
答：乙中途离开了3天
类型四、调配问题(比例问题、劳动力调配问题）
7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套？
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【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．
【答案与解析】
解：设做上衣需要xm，则做裤子为（750—x)m，做上衣的件数为件，做裤子的件数为，则有：
解得：x＝450，
750-x＝750—450＝300(m)， （套）
答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系:上衣总件数＝裤子的总件数．
举一反三：
【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一） 调配问题】
【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 。
解：设从甲队调出x人到乙队。由题意得,
解得，x=12。
答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的 .
实际问题与一元一次方程（二）（提高）
【学习目标】
;
，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1．和、差、倍、分问题
(1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
(2）寻找相等关系:抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
(1）三个基本量间的关系: 路程=速度×时间
（2)基本类型有:
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题:Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
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第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题:Ⅰ．基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度,
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40％，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
【答案与解析】
解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：
x(1—25％）(1—40％)+1=25％x+（1—25%)x×40％
解得：x=10
答:油箱里原有汽油10公斤.
【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
举一反三:
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生？一共展出了多少张邮票？
【答案】
解：设这个班有x名学生，根据题意得：
3x+24＝4x—26
解得:x＝50
所以3x+24＝3×50+24＝174
答:这个班有50名学生,一共展出了174张邮票．
类型二、行程问题
1。车过桥问题
2。 某桥长1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上"的不同含义．
【答案与解析】
解:设火车车身长为xm，根据题意，得:
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，
解得：x＝300，
所以．
答：火车的长度是300m,车速是30m/s．
【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注:A点表示火车头)：
(1)火车从上桥到完全过桥如图（1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
(2)火车完全在桥上如图（2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
举一反三：
【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排,各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得:
，
解得:x＝3
答:从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．
2。相遇问题（相向问题)
3．小李骑自行车从A地到B地,小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12点，、B两地间的路程。
【答案与解析】
解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：
解得：108．
答：A、B两地间的路程为108千米。
【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变,进而A、=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．
举一反三:
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶,在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.
【答案】
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解：设A、B两站间的距离为x km,由题意得：
解得:x=122
答: A、B两站间的距离为122km。
3。追及问题（同向问题）
4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米,但轿车行驶一小时后突遇故障,修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．
【答案与解析】
解：设卡车的速度为x千米/时,由题意得：
解得：x=24
答：卡车的速度为24千米/时．
【点评】采用“线示"分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．
（顺逆风问题）
5．盛夏,某校组织长江夜游，在流速为2。5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，，求A、B两地间的距离．
【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间;（2）C地在A地上游．
【答案与解析】
解：设A、B两地间的距离为x千米．
(1）当C地在A、B两地之间时,依题意得．
解这个方程得:x＝20（千米）
(2）当C地在A地上游时，依题意得：
解这个方程得：
答:A、B两地间的距离为20千米或千米．
【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示），然后利用“共乘”4小时构建方程求解．
6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍,环城一周是20千米，求两个人的速度。
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【答案与解析】
解;设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为x千米/时， 由题意得:
x×—x×=20
解得:x=10
答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时。
【点评】这是环形路上的追及问题，：最快的人骑的路程 — 最慢人骑的路程=20千米。
举一反三：
【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向,甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?
【答案】
解：设乙追上甲用了x分钟，则有:
72x-65x＝3×90
（分）
答：乙第一次追上甲时走了(m) 此时乙在AD边上
类型三、工程问题
7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?
【答案与解析】
解:设再过x小时可把水注满．由题意得：
解得:．
答：打开丙管后小时可把水放满．
【点评】相等关系:甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
举一反三：
【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成,收割后,改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．
【答案】
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解：设这块水稻田的面积为x亩，由题意得：
解得：．
答：这块水稻田的面积为36亩．
类型四、配套问题(比例问题、劳动力调配问题）
8．某工程队每天安排120个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走,问：应如何安排挖土和运土的工人?
【答案与解析】
解：设安排x人挖土,则运土的有(120—x）人，依题意得:
5x＝3（120—x),
解得x＝45．
120-45＝75（人）．
答：应安排45人挖土，75人运土．
【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一) 配制问题】
【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？
【答案】
解:设要用A种糖果x千克，则B种糖果用（100-x）千克。依题意，得：
28x+20(100-x)=25×100
解得：x=62。5.
当x=，100-x=37。5.
答：要用A、B两种糖果分别为62。5千克和37。5千克.
实际问题与一元一次方程（三）（基础）
【学习目标】
（1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程;
（2）熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）
1．利润问题
（1）
（2) 标价＝成本（或进价）×(1＋利润率)
(3） 实际售价＝标价×打折率