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(完整word版)专题题组训练(五)
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1．(2015·安徽文，6)下列双曲线中,渐近线方程为y＝±2x的是 （ A )
A．x2－＝1 B。－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【解析】 由双曲线的渐近线的公式可知，选项A的渐近线方程为y＝±2x，故选A。
2．(2018·湖北黄冈质检,5)过双曲线－＝1（a〉0,b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P。若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为 ( A ）
A。 B。 C．2 D。
【解析】 ∵OM⊥PF，且|FM｜＝|PM|，
∴|OP｜＝｜OF｜，∴∠OFP＝45°，
∴|OM|＝|OF｜·sin 45°，即a＝c·，∴e＝＝，故选A。
3．(2018·江西南昌联考，5)过点(3，1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ( A )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
【解析】 方法一:如图,连接PC。
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圆心坐标为C（1，0），易知A（1，1)．
又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，
∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，故选A.
方法二：直线AB是以PC为直径的圆（x－2)2＋＝与圆(x－1）2＋y2＝1的公共弦所在的直线,
∴直线AB的方程为2x＋y－3＝0.
4．(2018·辽宁大连双基测试，5）已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限)，若＝3，则直线l的斜率为 （ D ）
A．2 B. C。 D。
【解析】 设A（x1，y1)，B(x2，y2)，F（1，0)，x1＞0,y1＞0.
则＝(1－x1,－y1），
＝(x2－1，y2)．
∵＝3,∴
又y2＝4x，∴x1＝9x2,
∴
则直线l的斜率k＝＝。
5．（2017·重庆一调，4）设m，n∈R，若直线mx＋ny－2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＋n的取值范围是 （ C )
A．［－2,2］ B．（－∞,－2]∪［2，＋∞）
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪［2,＋∞)
【解析】 由直线与圆相切得，＝1，
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∴m2＋n2＝4。令m＝2cos θ，n＝2sin θ（θ∈R），∴m＋n＝2sin，
∴－2≤m＋n≤2。
6．（2018·福建三明质检,6)设F1，F2为双曲线Γ：－＝1(a〉0，b>0）的左、右焦点，P为Γ上一点，PF2与x轴垂直,直线PF1的斜率为，则双曲线Γ的渐近线方程为 ( C )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】 不妨设点P位于第一象限，点P的坐标为P(c，m)，则－＝1，
解得m＝，即P。
又F1（－c，0），
则kPF1＝＝,
整理可得，2e2－3e－2＝0。
又e>1，则e＝＝2，
则＝4⇒＝3⇒＝,故双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x。
7．（2017·黑龙江哈师大附中三模，12）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点,F1(－c，0)，F2（c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点,|PF1|＝｜F1F2|且｜PF2|＝∈，则双曲线的离心率e2的取值范围是 （ C ）
A. B.
C．（2，3) D.
【解析】 设椭圆方程为＋＝1（a>b>0)，由|PF1｜＝｜F1F2｜且|PF2|＝5知，2a－5＝2c⇒e1＝＝.设双曲线方程为－＝1（m>0，n>0），同理，可得e2＝。
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由e1＝∈知，2c∈，故e2＝∈(2,3）．
8．（2018·浙江杭州模拟，6）如图,设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是 ( A ）
A. B。
C。 D。
【解析】 如图，过点A，B分别作准线x＝－1的垂线,交y轴于点N，M。
借助△CMB∽△CNA和抛物线的性质得
＝＝＝＝。
9．（2017·广东汕头一模，7)已知双曲线的方程为－＝1(a>0,b〉0),过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率为 ( A ）
A. B。＋1
C. D．2＋
【解析】 由题意得，∠PF1F2＝30°.设直线l和y轴的交点为E,则点E为PF1的中点，∴OE
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是△PF1F2的中位线，
∴OE∥PF2，
∴PF2⊥x轴,则P.
在△PF1F2中，tan 30°＝＝＝＝。
∵e＞1，∴e＝。
10．（2018·福建泉州质检,6)双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长,则该双曲线的离心率等于 （ A )
A. B。 C．2 D．3
【解析】 假设双曲线的焦点在x轴上，且其方程为－＝1，则c＝，其焦点坐标为（±，0），渐近线方程为y＝±x,即bx±ay＝0，焦点到渐近线的距离d＝＝b。由该双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长，得a＝＝＝a，所以该双曲线的离心率e＝＝.
11．（2018·北京海淀区模拟，18，13分）已知椭圆＋＝1（a>b〉0）经过点P（0，1)，离心率为，动点M(2,m）(m〉0）．
（1)求椭圆的标准方程;
(2）求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
解：（1）由题意得＝，①
因为椭圆经过点P(0，1），所以b＝1。②
又a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝2，b2＝c2＝1，
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所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
（2）以OM为直径的圆的圆心为,半径r＝,
方程为（x－1）2＋＝＋1。
因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离d＝＝＝，
解得m＝4。
故所求圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5.
(3）证明：过点F作OM的垂线,垂足设为K,由平面几何知识知，|ON|2＝|OK|·｜OM|。
则直线OM：y＝x,
直线FN：y＝－（x－1）．
由得xK＝，
所以|ON｜2＝xK·xM＝··2＝2,
所以线段ON的长为定值.
12．（2018·辽宁大连双基测试，20，12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b〉0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合,椭圆E的离心率为，过点M(m，0）作斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P，且·为定值．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求m的值．
解:(1）∵y2＝－4x的焦点为（－1，0），∴c＝1.
又∵e＝＝，∴a＝，b＝1.
∴椭圆E的方程为＋y2＝1。
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(2)由题意,直线l的斜率k存在且不为0，设直线l的方程为y＝k（x－m），A(x1，y1），C(x2，y2）．
联立方程组消元得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2k2m2－2＝0，
∴x1＋x2＝，
x1·x2＝，
∴·＝＋y1y2
＝＋k2(x1－m)(x2－m)
＝（1＋k2)x1x2－(x1＋x2）＋＋k2m2
＝＋。
∵·为定值，
∴3m2－5m－2＝－4，
即3m2－5m＋2＝0，
∴m1＝1，m2＝。
∴m的值为1或。
13．（2018·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验联考，20，12分)已知椭圆C：＋＝1（a>b〉0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为2。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得·为定值？若存在，求出D点坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．
解:（1)由题意，e＝＝，(S△PAB)max＝×2ab＝ab＝2，且a2＝b2＋c2。
联立方程组，解得a＝2，b＝，c＝1.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
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(2）假设存在定点D(m，0），使得·为定值．
①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1(－1，0），设直线l的方程为x＝ty－1，联立消去x得（3t2＋4）y2－6ty－9＝0.
设M(x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝－。
＝(x1－m，y1)，
＝(x2－m，y2），
·＝（x1－m）(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2）＋m2＋y1y2
＝(ty1－1）（ty2－1）－m[t(y1＋y2）－2]＋m2＋y1y2
＝(t2＋1）y1y2－(m＋1)t（y1＋y2）＋（m＋1)2
＝－－＋(m＋1）2
＝＋（m＋1)2.
若·为定值，则＝，即m＝－，此时·＝－；
②当直线l的斜率为0时，A（－2，0)，B(2，0），D，·＝－×＝－，亦符合题意．
∴存在点D，使得向量·为定值－.
14．(2017·甘肃兰州一诊,20，12分）已知椭圆C：＋＝1(a〉b>0）经过点（，1），且离心率为。
（1)求椭圆C的方程；
（2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON（O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，试探究是否存在两个定点F1，F2，使得｜PF1|＋｜PF2|为定值？若存在,求F1,F2的坐标；若不存在,请说明理由．
解：(1)因为e＝,
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所以＝，所以＝.
又因为椭圆经过点（,1),
所以＋＝1。
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋｜PF2｜为定值．
设P（x,y)，M(x1，y1），N（x2，y2），则由＝＋2，得
x＝x1＋2x2,y＝y1＋2y2。
因为点M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4,
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2（y＋4y1y2＋4y）＝（x＋2y)＋4（x＋2y）＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4（x1x2＋2y1y2）．
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝＝－，
因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20.
所以点P是椭圆＋＝1上的点,
所以由椭圆的定义知存在点F1,F2，满足｜PF1|＋|PF2｜＝2＝4为定值．
又因为｜F1F2｜＝2＝2，
所以F1，F2坐标分别为（－,0),(，0)．