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(完整word版)2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
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2015年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分)
1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x｜x2﹣4x+3＜0｝,B={x｜2＜x＜4},则A∩B=( ）
A．
（1，3）
B．
(1,4）
C．
（2，3）
D．
（2，4)
考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
求出集合A，然后求出两个集合的交集．
解答：
解:集合A={x｜x2﹣4x+3＜0}=｛x|1＜x＜3｝,B={x|2＜x＜4｝，
则A∩B={x|2＜x＜3}=（2,3）．
故选:C．
点评：
本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．(5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=( ）
A．
1﹣i
B．
1+i
C．
﹣1﹣i
D．
﹣1+i
考点：
复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
专题：
数系的扩充和复数．
分析:
直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
解答：
解:=i,则=i（1﹣i)=1+i，
可得z=1﹣i．
故选:A．
点评：
本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象,只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．
向左平移单位
B．
向右平移单位
C．
向左平移单位
D．
向右平移单位
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质．
分析：
直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
解答：
解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin［4（x﹣）］，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
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故选：B．
点评：
本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
4．（5分)（2015•山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°,则=（ )
A．
﹣a2
B．
﹣a2
C．
a2
D．
a2
考点：
平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
由已知可求，，根据=（）•=代入可求
解答：
解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，
∴=a2，=a×a×cos60°=，
则=（）•==
故选：D
点评：
本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题
5．（5分）（2015•山东)不等式｜x﹣1｜﹣|x﹣5｜＜2的解集是（ ）
A．
（﹣∞，4）
B．
(﹣∞,1）
C．
（1，4)
D．
（1,5)
考点：
绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当x＜1,②当1≤x≤5，③当x＞5,分别去掉绝对值,解不等式，最后求并集即可．
解答：
解：①当x＜1,不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2,即﹣4＜2成立，故x＜1；
②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；
③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．
综上知解集为（﹣∞，4)．
故选A．
点评：
本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法,考查运算能力，属于中档题．
6．（5分)（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4,则a=（ ）
A．
3
B．
2
C．
﹣2
D．
﹣3
考点:
简单线性规划．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值．
解答：
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
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则A（2,0)，B（1，1)，
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4,解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2,0）时,截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y,
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件,
故a=2，
故选：B
点评：
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
7．(5分)(2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ )
A．
B．
C．
D．
2π
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离．
分析：
画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
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解答：
解：由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，
几何体的体积为：=．
故选：C．
点评：
本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．
8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0，32)，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间(3，6）内的概率为（ ）
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68。26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95。44%)
A．
％
B．
%
C．
27。18％
D．
31。74%
考点：
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
由题意P(﹣3＜ξ＜3）=68。26%,P（﹣6＜ξ＜6)=95。44％,可得P（3＜ξ＜6)=（95。44%﹣68。26％），即可得出结论．
解答：
解：由题意P（﹣3＜ξ＜3)=68。26％，P（﹣6＜ξ＜6)=％，
所以P（3＜ξ＜6）=（%﹣％）=％．
故选：B．
点评：
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
9．(5分）(2015•山东)一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆(x+3）2+(y﹣2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ）
A．
﹣或﹣
B．
﹣或﹣
C．
﹣或﹣
D．
﹣或﹣
考点：
圆的切线方程；直线的斜率．菁优网版权所有
专题：
计算题；直线与圆．
分析：
点A(﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k（x﹣2)，利用直线与圆相切的性质即可得出．
解答:
解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′(2，﹣3），
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故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2）,化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，
∴圆心（﹣3,2）到直线的距离d==1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=或﹣．
故选：D．
点评：
本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
10．（5分)（2015•山东）设函数f（x)=，则满足f（f(a））=2f（a)的a的取值范围是（ ）
A．
［，1]
B．
[0，1］
C．
［,+∞)
D．
［1，+∞)
考点：
分段函数的应用．菁优网版权所有
专题：
创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析:
令f(a)=t，则f(t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
解答：
解：令f（a）=t,
则f(t）=2t,
当t＜1时,3t﹣1=2t，
由g（t)=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，
在t＜1时,g′（t)＞0，g（t）在（﹣∞,1)递增，
即有g（t)＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a)≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥,且a＜1;
或a≥1，2a≥1解得a≥0,即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥．
故选C．
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点评:
本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分)
11．（5分）（2015•山东)观察下列各式：
C=40；
C+C=41;
C+C+C=42；
C+C+C+C=43；
…
照此规律，当n∈N＊时，
C+C+C+…+C= 4n﹣1 ．
考点:
归纳推理;组合及组合数公式．菁优网版权所有
专题：
推理和证明．
分析:
仔细观察已知条件,找出规律，即可得到结果．
解答：
解:因为C=40;
C+C=41；
C+C+C=42；
C+C+C+C=43；
…
照此规律，可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，
可得：当n∈N＊时，C+C+C+…+C=4n﹣1；
故答案为:4n﹣1．
点评:
本题考查归纳推理的应用,找出规律是解题的关键．
12．（5分）(2015•山东)若“∀x∈［0，]，tanx≤m"是真命题，则实数m的最小值为 1 ．
考点：
命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
分析：
求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．
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解答：
解：“∀x∈［0,]，tanx≤m"是真命题,
可得tanx≤1，所以，m≥1，
实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
点评：
本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用,考查计算能力．
13．(5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为 ．
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
图表型;算法和程序框图．
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3,退出循环，输出T的值为．
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
n=1,T=1
满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2
满足条件n＜3,T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3
不满足条件n＜3，退出循环,输出T的值为．
故答案为:
点评：
本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．
14．(5分）（2015•山东)已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0],则a+b= ﹣ ．
考点:
函数的值域．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
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分析：
对a进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组，
解答：
解：当a＞1时，函数f(x）=ax+b在定义域上是增函数，
所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；
当0＜a＜1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是减函数，
所以解得b=﹣2，a=
综上a+b=，
故答案为；﹣
点评:
本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想,属于基础题
15．（5分)（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p＞0)交于点O,A,B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．
考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
求出A的坐标,可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．
解答：
解：双曲线C1:﹣=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=±x，
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±,
取A（,),则=，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）=﹣1，
∴5a2=4b2，
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∴5a2=4(c2﹣a2）
∴e==．
故答案为：．
点评：
本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．
三、解答题
16．（12分）(2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2(x+）．
（Ⅰ)求f（x）的单调区间;
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
考点：
正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数;余弦定理．菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质;解三角形．
分析：
(Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间,由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤,从而得解．
解答:
解:(Ⅰ）由题意可知，f(x）=sin2x﹣
=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z；
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
所以f(x）的单调递增区间是［k，k］，（k∈Z)；单调递减区间是:［k，k］,（k∈Z)；
（Ⅱ)由f()=sinA﹣=0，可得sinA=，
由题意知A为锐角，所以cosA=，
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由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．
因此bcsinA≤，
所以△ABC面积的最大值为．
点评：
本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．
17．（12分）（2015•山东)如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G,H分别为AC，BC的中点．
(Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
(Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．
考点：
二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离；空间角;空间向量及应用．
分析:
（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x，y,z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．
解答：
解：（Ⅰ）证明：根据已知条件,BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC;
∴EF∥BH，且EF=BH；
∴四边形EFHB为平行四边形；
∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；
∴BE∥平面FGH;
同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB;
又DE∥AB;
∴DE∥GH；
∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；
∴平面BDE∥平面FGH,BD⊂平面BDE；