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5—1 判定下列二次型函数的定号性.
（1) (2）
(3) （4)
解:(1) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为
对实对称矩阵P作合同变换如下
因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的.
（2） 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为
对实对称矩阵P作合同变换如下
因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定的.
(3） 对实对称矩阵P作合同变换如下
因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定的。
（4） 由于
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故该函数V（x）为正定函数。
5—2 确定下列二次型函数中的待定系数的取值范围,从而使其成为正定的。
（1）
（2)
解:(1） 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为
对实对称矩阵P作合同变换如下
因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为a>5。
(2) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为
根据赛尔维斯特准则知，由于
因此，该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为
5—3 判定下列矩阵的正定性。
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（1) （2)
解 (1) 对实对称矩阵P作合同变换如下
因此，当>2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定；当=2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定；当<2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定.
（2） 对实对称矩阵P作合同变换如下
因此，该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定.
5-4 设有二阶非线性系统为
（1) 求出所有的平衡态;
(2) 求出各平衡态处的线性化状态方程,并用李雅普诺夫第一法判断是否为渐近稳定.
解 (1） 对本题，平衡态为代数方程组
的解，即下述状态空间中的状态为其孤立平衡态
(2) 由线性化方法，各平衡态处的线性化状态方程的系统矩阵A为
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线性化系统的特征多项式为s2+s+（—1）k，因此，只有平衡态为渐近稳定的，而平衡态为不稳定的.
5-5 设系统的运动方程式为
试确定其渐近稳定的条件。
解：令，则状态方程为
原点是唯一的平衡态,初选
则有
当,.则在原点平衡态的这个邻域范围内,，由于对所有非零状态轨迹不能恒为零,因此该平衡态为渐近稳定的。
5-6 试选择适当的李雅普诺夫函数,并利用该函数判定下列非线性系统的稳定性。
（1） (2)
(3)
解：(1） 显然,原点是给定系统的惟一平衡态，如果选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x（t)，V(x）对时间的全导数
是半负定函数，并且由于对所有非零初始状态出发的状态轨迹非恒为零，因此,该原点平衡态是渐近稳定的。
（2） 显然,原点是给定系统的平衡态。下面仅讨论原点平衡态的稳定性问题，，那么沿任意轨迹x(t)，V（x）对时间的全导数
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在原点的一个充分小的邻域内,高阶项，因此为负定，故系统原点处的平衡态渐近稳定。
(3) 原点为系统的平衡态，选李氏函数为：
则 为半正定，原点平衡态为稳定的。更进一步，由于在原点的充分小的邻域内，当 时，，但此时,,原点平衡态为渐近稳定的。
5—7 设系统的状态方程为
试求其V函数，并在和时,分析平衡点处的系统稳定性。
解 ） 设选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t）,V（x)对时间的全导数
因此,当，是负定函数,该原点平衡态是渐近稳定的;当，是正定函数，该原点平衡态是不稳定的;当，恒为0，该原点平衡态是稳定的，但非渐近稳定的.
5—8 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常系统的稳定性.
（1） （2)
解 (1) 设选取的李雅普诺夫函数，其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程，可得
解出p11、p12和p22,得
经检验，对称矩阵P不为正定矩阵,因此该线性系统不是渐近稳定的。
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(2) 设选取的李雅普诺夫函数,其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程，可得
解出p11、p12和p22，得
经检验，对称矩阵P为正定矩阵，因此该线性系统是渐近稳定的。
5-9 线性时变系统的状态方程为。
分析系统在平衡点处的稳定性如何?并求函数。
解：原点是系统的一个平衡态，由
其中
解矩阵得 。 根据根据赛尔维斯特准则有：
该系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。其李雅普诺夫函数为 .
5—10 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常离散系统的稳定性.
(1） （2）
(3)
解 （1） 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程:
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求解上述方程,解出p11、p12和p22,得
经检验对称矩阵P为正定的，因此，系统为大范围渐近稳定的。
(2) 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程:
求解上述方程，解出P,得
经检验对称矩阵P不为正定的，因此，系统非渐近稳定的。
（3） 由李雅普诺夫代数方程,有
解出矩阵
为使为正定矩阵,根据根据赛尔维斯特准则,其充要条件是
即 ，可保证系统在原点处是大范围渐近稳定。
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5—11 用克拉索夫斯基法判别下述非线性系统的稳定性。
解 由于f（x)连续可导且
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
由矩阵函数负定，所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的.
5-12 用克拉索夫斯基法确定下述系统为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。
解 由于f(x)连续可导且
因此当b¹0时，正定;当b=0时,只要a¹-1,正定。此时，上述
可取作李雅普诺夫函数，因此,有
因此矩阵函数负定的条件为a〈0, 。所以综上所述,由克拉索夫斯基定理可知，平衡态xe=0是渐近稳定的条件为：
b¹0，a<0， .
或
b=0，a<—1
5—13 用变量梯度法构成下述非线性系统的李雅普诺夫函数,并判别稳定性。
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参见5。4。2小节的例题