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初等矩阵的概念与性质
用初等变换求逆矩阵
问题与思考
第二章 矩阵概念及其运算
一、初等矩阵的概念与性质
【】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.
初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、 Eij（k）；
如对三阶单位矩阵
E23=
（1）Eij: 交换单位矩阵的第 行（列），得到的初等矩阵
:单位矩阵E的第 行（列）元素乘以常数 ，
得到的初等矩阵
E3（k）=
如对三阶单位矩阵
：单位矩阵 的第 行(第 列)乘以常数
加到第 行(第 列)，得到的初等矩阵
如对三阶单位矩阵
E12（k）=
1）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.
初等矩阵有以下性质：
行变换：
列变换：
如：
用初等矩阵表示矩形框里的矩阵：
【】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使
A=P1P2…Pk.
【证】
充分性:设有初等阵P1，P2，…,Pk , 使
A=P1P2…Pk.
因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。
即 A= P1P2…Pk,
必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n
A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等变换可以将E变成A，
存在有限个初等阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pk,使
A= P1P2…PlEPl+1…Pk,
证毕
二、用初等变换求逆矩阵
【推论1】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.
证
A与B等价 存在有限个 阶初等矩阵
及有限个 阶
初等矩阵 使
令
由定理2-4知P是 阶可逆矩阵,Q为 阶可逆矩阵
且 PAQ=B
R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)
【推论2】设A是 矩阵,P是m阶可逆矩阵，
【推论3】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.
这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.
【证推论3】
因A可逆,
所以A-1也可逆,
,P2,…,Ps,使
A-1= P1P2…Ps
因为 A-1A=E 于是有P1,P2,…,PsA=E
二、用初等变换求逆矩阵
得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsE=A-1
设A是n阶可逆矩阵,则A-1 也可逆。
从而存在初等阵P1,P2,…,Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵E化成了逆矩阵A-1
用初等变换求逆矩阵的方法:
1)构造矩:(A E);
2)做初等行变换