文档介绍：海燕
高尔基
制作:武进牛塘中学王强周晓春蒋华菊
第三章
二阶线性常微分方程的幂级数解法
在应用分离变量法求解数学物理问题时,我们需要求解二阶常微分方程的本征值问题,但在上一章中涉及的是两个自变量的偏微分方程,分离变量后得到的常微分方程是二阶线性常系数常微分方程(或可化为常系数的常微分方程,如Euler方程)。
在进一步的讨论中,比如在极坐标、柱坐标系及球坐标系下用分离变量法求解数学物理定解问题时,会遇到更一般的,即二阶线性变系数常微分方程的本征值问题。为此,我们在这一章中讨论形如 ()的方程的解法,并给出相应本征值问题的一些共性。
可以证明,方程()系数
以确定方程解的解析性质。为
了用复变函数的方法讨论方程
()及其解的解析性质,
有时需要将x延拓到复数域(仍
用x表示)。
的解析性质完全可
如果在点解析,则称为方()的常点;
如果在点
有一个
称为方程
不是解析的,则
()的奇点。下面分别讨论方程()在常点邻域及在奇点邻域内的解。
()
二阶常微分方程的级数解法

定理1(Cauchy定理)设问题为
其中
在
内解析,
称为方程的常点,则
可由初始条件和
这时
上述初值问题在
有唯一
的解析解
()
其中系数
方程唯一确定,进一步还可
证明所得幂级数的收敛半径
至少是。
下面给出具体解法:
设方程的解为
将
也展开成Taylor
代入方程(),有
. ()
级数,有
由幂级数的乘法:
及
可将式()写成
可以由初值
表示出来,如:
比较等式两边
同次幂的
系数有
由此可知
以及
以此类推,可求出全部系数
得到式()的级数解。它
包含两个常数(由初始条件
确定)
,于是可将级数()
和
,它们
和
。即这两个
和
和
线性无关,
分成两个级数
分别含有
级数的第一项分别为
因此
从而构成式()的基础解
系。