文档介绍：幂函数
1. 幂函数的定义:一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数。
(1)当指数n是正整数时,定义域是R。
(2)当指数n是正分数时,设(p,q是互质的正整数,q>1),则。
如果q是奇数,定义域是R; 如果q是偶数,定义域是[0,+∞)。
(3)当指数n是负整数时,设显然x不能为零,所以定义域是
(4)当指数n是负分数时,设(p,q是互质的正整数,q>1),则。
    如果q是奇数,定义域是; 如果q是偶数,定义域是(0,+∞)。
 
2. 幂函数的图象与性质
幂函数部分的内容是学习的难点,要突破这个难点,关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图,因为有了草图,有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然,而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。
(1)第一象限内图象规律总结(结合图形):
① n>1时,过(0,0)、(1,1)的抛物线型,下凸递增。
② n=1时,过(0,0)、(1,1)的射线。
③ 0<n<1时,过(0,0)、(1,1)的抛物线型,上凸递增。
④ n=0时,变形为y=1(x≠0),平行于x轴的射线。
⑤ n<0时,过(1,1),双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。
(2)整个图象的规律:设(p,q是互质,p∈Z,q∈N)
①任何幂函数在第一象限必有图象,在第四象限必无图象;
②时,函数非奇非偶,只在第一象限有图象;
③时,函数是偶函数,图象在第一、二象限都有图象(坐标轴上也可能有)并关于y轴对称。
④时,函数是奇函数,图象在第一、三象限都有图象(坐标轴上也可能有)并关于原点对称。
(3)快速作幂函数图象的步骤:不管n取什么有理数,幂函数的公共定义域为(0,+∞),可见幂函数在第一象限内总有图象,因此作幂函数图象应先从第一象限入手:
①先作出第一象限内的图象;
②若幂函数的定义域为(0,+∞)或[0,+∞],作图已经完成;
    若幂函数在(-∞,0)或(-∞,0)上也有意义,则应先判断函数的奇偶性,再利用奇函数或偶函数的性质作出在(-∞,0)或(-∞,0)部分的图象。
练习:
3、在函数,,,中,幂函数有( )
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
4、当x∈(1,+∞)时,函数y=的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是
A、a<1 B、0<a<1 C、a>0 D、a<0
7、已知,设, , , 中的最大值是,最小值是,则
= ,= .
8、已知,试比较,,的大小____________________
9、已知幂函数的图象与轴都无交点,且关于轴对称,求的值。
10、已知幂函数在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求的值,并写出相应的函数、
1,B 2,C 3,C 5C 7 ba, aa 8.<<。
9,解:因为的图象与x,y轴都无交点,所以,,所以,
m可取0,1,2。因为的图象关于y轴对称所以m=1
10,解:因为幂函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,所以-p2+p+>0,解得-1<p<3、又幂函数在其定义域内是偶函数且p∈Z,所以p=2、相应的函数f(x)=、
例1. 在的条件下,。若不等式在(0,1)上成立,则n的取值是____