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双流体柏努利方程式的推导
如图所示的管道中流有热空气,其密度为ρh,周围是冷空气,密度为ρa;ph1、ph2及pa1、pa2 分别表示管道Ⅰ-Ⅰ,Ⅱ-Ⅱ两截面处内外气体的绝对压强;v1、v2分别为热气体在Ⅰ-Ⅰ,Ⅱ-Ⅱ两截面处的流速;z1、z2分别表示Ⅰ-Ⅰ,Ⅱ-Ⅱ两截面至基准面的距离。
首先,将基准面选在两截面的下方,z轴的方向向上为正;对管道内的热气体列出Ⅰ-Ⅰ,Ⅱ-Ⅱ两截面的柏努利方程式:
ph1 +ρh g z1+ (ρhv12)/2= ph2+ρh g z2+(ρhv22)/2 + hp1-2 (1)
对管道外的冷空气,由于气流可以看作是静止不动;所以速度可以认为是零,那么能量损失项也为零,同样列出柏努利方程式为:
pa1 +ρa g z1=pa2+ρa g z2 (2)
由(1)-(2)式得:
(ph1-pa1)+ (ρh-ρa)gz1+ (ρhυ12)/2=
(ph2-pa2)+ (ρh-ρa)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 (3)
因为管道内流动的是热气体;所以:
ρh<ρa;即ρh-ρa<0;
那么可以将(3)式写为:
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh) g (-z1)+ (ρhυ12)/2=
(ph2-pa2)+ (ρa-ρh) g (-z2)+(ρhυ22)/2 +hp1-2 (4)
由(4)式得到:
(ρa-ρh) g (-z1)<0 和(ρa-ρh) g (-z2)<0
为了计算的方便,于是可以令z=-z,即将基准面移到研究系统的上方, z轴方向取向下为正;那么(4)式可以变形为:
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh)gz1+ (ρhυ12)/2=
( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 (5)
(5)式即为双流体柏努利方程式。
若设备中的气体静止不动时,(5)式即变为双流体静力学方程。
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh)g(z1)= ( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g (z2) (6)
小结:以上(3)、(4)、(5)式均为双流体的柏努利方程式,但是它们各自的基准面选取和Z轴的方向各不一样;其中:
(3)式的基准面在两截面的下方,z轴的方向向上;
(4)式的基准面在两截面的下方,z轴的方向向上;
(5)式的基准面在两截面的上方,z轴的方向向下;
在实际计算中,我们多使用第(5)式,同时将基准面选在较高位置截面的中心线上,这样另一截面到基准面的距离就可以用两截面高度差的绝对值来表示。
双流体柏努利方程式中各符号的意义
1)简写的双流体柏努利方程式
由于双流体的柏努利方程式书写很不方便,所以采用了一种简写的形式:
hs1+hg1+hk1=hs2+hg2+hk2+hp1-2 (6)
2)双流体柏努利方程式各符号的意义
(1) hs:相对静压头;
指单位体积气体所具有的相对压力能,在数值上等于管道内外同一高度上气体的压强差。
hs=Ph-Pa J/m3或Pa
式中的hs1、hs2分别表示Ⅰ-Ⅰ,Ⅱ-Ⅱ两截面的相对静压头。
(2) hg:相对几何压头;
指单位体积气体所具有的相对位能;
hg=(ρa-ρh)gz J/m3或Pa
由于ρa>ρh知,热气体所受的浮力大于自身重力,说明温度较高,密度较小的气体具有自动向上的趋势,所以相对几何压头可以理解为气体所具有的向上做功的能力。
由于几何压头与基准面的选取有关,所以通常将基准面选在所研究的容器的上部,这样在基准面上气体的几何压头为零,离基准面越远,几何压头越大。
此外,相对几何压头还和密度差ρa-ρh有关。当ρh越小,外界温度T越小,ρa越大时,相对几何压头越大;
(3) hk :相对动压头;
指单位体积气体所具有的相对动能;
hk= (ρh υ22)/2 J/m3 或 Pa
(4) hp1-2:压头损失;
单位体积气体流动时的能量损失;它包括摩擦阻力损失和局部阻力损失等。
例:热气体沿竖直管道流动,如图所示,,,Ⅰ-Ⅰ面动压头为12Pa,Ⅱ-Ⅱ面动压头为30Pa,沿程压头损失为15Pa,测得Ⅰ-Ⅰ面静压头为200Pa,求气体由上而下和气体由下而上运动时Ⅱ-Ⅱ截面的相对静压头为多少?绘出这两种情况的能量分布,并说明在此两种情况下的能量转化关系。
10 m
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ