文档介绍：摘要:分析了若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B,则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系,以及此性质在线性代数的主要应用。
关键词:初等变换;线性相关;线性无关;线性表示
线性代数主要研究的是线性问题。一般而言,凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论,因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。
向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组,以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。
1 线性相关性证明
设A=(α1,α2,··· ,αn),αi∈Pm,若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B,则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系。
证明:设Am×n,A经过行初等变换化为B,将A,B分别按列分块为A=(α1,α2,…,αn),B=(β1, β2,···,βn)。由于对A只进行有限次行初等变换,故可知有满秩矩阵P,使PA=B,即P(α1,α2, ···,αn)=(β1, β2, ···,βn),于是有i1
βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) (1)
设A和B对应的列向量组为αi1,αi2, ···,αir和βi1, βi2,···,βir (1≤i1<i2<···<ir≤n),由(1)式得
βik = P αik (k=1,2,3, ···,r)
因此,如果αi1,αi2, ···,αir有线性关系式k1αi1+k2αi2+ ···+krαir=0(kr为实数),则k1,k2…kr也必使得
k1βi1+k2 βi2+···+krβir =k1(Pαi1)+ k2(Pαi2)+ ···+ kr(Pαir)
=P(k1αi1+k2αi2+ ···+krαir)=P0=0
反之,如果βi1, βi2,···,βir有线性关系式,得
λ1βi1+λ2βi2+ ···+λrβir=0
则由P的满秩性可知αj=P-1βj (j=1,2,3, ···,n),于是有
λ1αi1+λ2αi2+ ···+λrαir=λ1P-1βi1 +λ2P-1βi2 + ···+λrP-1βir
= P-1(λ1βi1+λ2βi2+ ···+λrβir)= P-10=0
这表明向量组αi1,αi2, ···,αir与向量组βi1, βi2,···,βir有相同的线性相关性,证毕。
2 线性相关性在线性代数中的应用
若向量组α1,α2, ···,αn的个数等于于向量的维数,即m=n时,则
A==(α1,α2, ···,αn)是一个方阵,方阵有行列式。
(1)α1,α2, ···,αn线性相关=0
(2)α1,α2, ···,αn线性无关≠0
例1 判断下列向量组的相关性,
α1=, α2=,α3=,α4=.
解==0,所以α1,α2, α3,α4线性相关。
向量组的极大无关组和秩
设有向量组A:α1,α2, ···,αs,如果在A中存在r 个向量A0: αj1,αj2, ···,αjr, 满足
1)向量组A0线性无关;2)向量组A中任一向量可用A0线性表示,
则称向量组 A0是向量组 A的一个极大线性无关组(简称极大无关组).极大无关组