文档介绍：机动目录上页下页返回结束
《用微积分建立疾病传染模型并预测其趋势》电子科技大学:李皓月
一、初等模型的建立(参量:N、 i(t) 、 s(t) 、、a、、)
将人员分为两个集合,即病人和健康人(易感者)。
,即不计出生人数和死亡人数,。
(t)。
(t)。此时有
。
,且不考虑治愈后的免疫力。
。
在上述的假设条件下,人员流程图如下
Ns(t)
健康人群
Ni(t)
病人
于是可列下列等式
对第一个等式两边同时除以,并令
则可变换为
带入化简后
伯努利方程
令则有
解得z的解为
当时
当时
如果有初始值t=0时,
其中
由和的含义可知, 是整个传染期内每个病
人有效接触的平均人数,称为接触数。于是有
0
t
i
>1
1-1/
i0
i0
i
0
t
1
i0
此模型可以粗略预测不计人口变化且不考虑治愈后人群的传染概率的变化的疾病
二、中等模型的建立(参量:N、i(t)、s(t)、r(t)、l、a、m、)
将人群分为三个集合,即病人,未患病人群,已治愈人群
1假设疫区的人口状况不变,即不计出生人数和死亡人数,
2设t时刻病人比例为i(t)
3设t时刻易感人群(从未患病人群)的比例为s(t)
4设t时刻已治愈人群比例r(t)
5设每人每天平均接触的人数比例为
6易感人群被感染的概率为常数a,已治愈人群拥有免疫力不会再患病
7平均病人人群每天的治愈率为常数
Ns(t)
易感者人群
Ni(t)
患病人群
Nr(t)
痊愈人群
于是可列方程
且有s(t)+i(t)+r(t)=1,则方程可化简为
上述的初值问题无法求出解析解,只能通过数值解法求出数值解。
此处用matlab软件求解。
设λ= 1,a =1,μ= 0. 3, i(0) = 0. 02, s(0) = 0. 98,
MATLAB软件编程
function y=ill(t,x)
a=1;b=
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]'
输入
ts=0:50
x0=[,]
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x]
结果为
此图为i~s曲线
此图中初始点在下侧的曲线为i(t)曲线。初始点在上侧的曲线为s(t)曲线
三、高等模型的建立(复合群体)
在中等模型的基础上可以考虑和增加更多的变量从而更准确更多的预测疾病模型。
把人群按年龄分为三个集合,即儿童,青年,中老年。不同年龄阶段人群的感染率和治愈率不同。
每个集合再分为两个子集,即病人和健康人(也就是说不考虑免疫问题)
1设儿童的人数为L,传染概率为每天平均治愈率为
2设青年的人数为M,传染概率为每天平均治愈率为
3设中老年的人数为N,传染概率为每天平均治愈率为
4设每人每天平均接触的人数比例为