文档介绍：五法求二面角
定义法:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点(B)向棱AM作垂线,得垂足(F);在另一半平面ASM内过该垂足(F)作棱AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,
,点M在侧棱上,=60°
(I)证明:M在侧棱的中点
(II)求二面角的大小。
证(I)略
F
G
解(II):利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,过F点在平面ASM内作,GF交AS于G,
连结AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且M是SC的中点,
∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵为AM的中点,
∴GF是△AMS的中位线,点G是AS的中点。则即为所求二面角.
F
G
∵,则,又∵,∴
∵,∴△是等边三角形,∴
在△中,,,,∴
∴二面角的大小为
练****1如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别是BC, PC的中点.
(Ⅰ)证明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.
分析:第1题容易发现,可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。(答案:二面角的余弦值为)
二、三垂线法
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,。
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例2)过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线,得垂足O;再过该垂足O作棱FC1的垂线,得垂足P,连结起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB、垂线BO、射影OP)。再解直角三角形求二面角的度数。
,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
证明:直线EE//;
求二面角B-FC-C的余弦值。
证(1)略
解E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-1⊥平面ABCD,1⊥BO,所以OB⊥1F,1F内作O