文档介绍：第五章方差分析
方差分析中的有关概念
单因素方差分析
双因素方差分析
均值估计与多重比较
方差分析中的有关概念
单因素方差分析问题与模型
双因素方差分析问题与模型
方差分析中的基本假定
单因素方差分析问题与模型
1. 数学模型
进行单因素方差分析时,需要得到如图5-1所示的数据结构。
设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1,2,…,ni,i = 1,2,…,m),希望由此对不同水平下总体的均值进行比较。
观测值(j)
A因素(i)
A1
A2
…
Am
1
x11
x21
…
xm1
2
x12
x22
…
xm2
…
…
…
…
…
ni
…
对此,观察到的xij常用以下的模型表示:
xij = i + ij ,1≤j≤ni,1≤i≤m
其中i表示第i个总体的均值,ij为随机误差,在方差分析中为了得到有效的检验法还常假定ij满足:
●ij为相互独立的;
●ij都服从正态分布,且ij的均值都为0,方差都相同。
2. 方差分析的过程
为了方便起见,可将i记为:
i = + i
其中称为总均值,i = i –,i = 1,2,…,m称为因素A的第i个水平的附加效应,这样比较不同水平下均值是否相同。问题的检验假设:
H0:1 = 2 = …= m,H1:1,2,…,m不全相等;
就可以表示为:
H0:1 = 2 = …= m = 0,H1:1,2,…,m不全为零。
在H0成立下检验用统计量:
其中、称为组间、组内(变差)平方和;这里称为组内平均;
称为总平均,n = n1 + n2 + …+ nm;另外
称为全部(变差)平方和;可以证明
SST = SSMA + SSE。
当原假设成立时,各总体均值相等,各样本均值间的差异应该较小,模型平方和也应较小,F统计量取很大值应该是稀有的情形。
所以对给定显著性水平α(0, 1),若p = P{F F0} < α,则拒绝原假设H0(F0为F统计量的观测值),可以认为所考虑的因素对响应变量有显著影响;否则不能拒绝H0,认为所考虑的因素对响应变量无显著影响。
3. 方差分析表
通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。
表5-1 单因素方差分析表
其中,MSA = SSMA/(m – 1),MSE = SSE/(n – m)。利用方差分析表中的信息,就可以对因素各水平间的差异是否显著做出判断。
来源Source
自由度DF
平方和Sun of Square
平均平方和Mean Square
F统计量 F value
p值Pr > F
组间
m – 1
SSMA
SSMA/(m – 1)
MSA/MSE
p
组内
n – m
SSE
SSE/(n – m)
全部(C-tatol)
n – 1
SSA+SSE
双因素方差分析问题与模型
1. 无交互作用的双因素方差分析
对于多因素问题,通常考虑有重复观测的情形,其数据结构如图5-2所示。
图5-2 双因素方差分析中数据结构
观测值
A因素(i)
平均值
A1
A2
…
Al
B
因
素
(j)
B1
x111…x11n
x211…x21n
…
xl11…xl1n
B2
x121…x12n
x221…x22n
…
xl21…xl1n
…
…
…
…
…
Bm
x1m1…x1mn
x2m1…x2mn
…
xlm1…xlmn
平均值
若第一个因素A有l个水平,第二个因素B有m个水平。在因素A的第i个水平和因素B的第j个水平下进行了多次观测,记为{xijk,1≤k≤n}。
对xijk考虑以下模型:
xijk= + i + j + ijk, 1≤i≤l,1≤j≤m,1≤k≤n
其中表示平均的效应,i和j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应,ijk为随机误差,同样这里的随机误差也假定它是独立的并且服从等方差的正态分布。