文档介绍：第八章
二、习题选讲
一、知识点复习
第八章
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习题课
第八章
第一节
一、区域
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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多元函数的基本概念
D
开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点,则称 E 为开集;
若点集 E E , 则称 E 为闭集(与教材说法不一样!)
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
则称 D 是连通的;
连通的开集称为开区域,简称区域;
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。。
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
定义1. 设非空点集
点集 D 称为函数的定义域;
数集
称为函数的值域.
特别地, 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
映射
称为定义
在 D 上的 n 元函数, 记作
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数
点,
则称 A 为函数
(也称为 n 重极限)
当 n =2 时, 记
二元函数的极限可写作:
P0 是 D 的聚
若存在常数 A ,
对一
记作
都有
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对任意正数, 总存在正数,
切
设 f ( x, y ) 为 D R2 上的二元函数,P0 (x0, y0 )为 D 的一个聚点, A 是一个实数. 若
使得当
时,都有
则称 f 在 D 上当( x, y ) →(x0, y0 ) 时,以 A 为极限.
极限的方邻域定义:
设 f ( x, y ) 为 D R2 上的二元函数,P0 (x0, y0 )为 D 的一个聚点, A 是一个实数. 若
使得当
时,都有
则称 f 在 D 上当( x, y ) →(x0, y0 ) 时,以 A 为极限.
极限的圆邻域定义:
注:从形式上看,二元函数极限的定义与一元函数极限的定义类似. 但二元函数极限远比一元函数极限要复杂得多,这主要体现在,平面上 P → P0 的方式,要比直线上 x → x0 的方式要复杂得多. 但不管以什么方式 P → P0 , f 都要以 A 为极限.
四、多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数
定义在 D 上,
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
如果存在
否则称为不连续,
此时
称为间断点.
则称 n 元函数
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连续.
连续,
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
定理:若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
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* (4) f (P) 必在D 上一致连续.
在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(3) 对任意
(有界性定理)
(最值定理)
(介值定理)
(一致连续性定理)
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
(证明略)