文档介绍：华北电力大学(保定)2009年硕士研究生入学考试试题
计算
n阶行列式;(2)
设是方程组的解。试证
(其中,)也是方程组的解。
设线性变换在基下的矩阵表示为,求在基
下的矩阵表示。
、所有n阶对称方阵、所有n阶反对称(斜对称)方阵成的线性空间,证明:
(1)均为线性空间的子空间;
(2)(是的直和);
(3)分别求出的一组基和维数。
,,是张成的的子空间,定义线性映射,其中。
(1)求在的基和的基下的矩阵表示B;
(2)求在的基和的基下的矩阵表示B;
(3)求的象,核及他们的维数。
6. 设A是n阶方阵,I为单位矩阵,
(1)是可逆矩阵;
(2)求满足方程的X.
7. 已知,求的因式分解式。
8. 设方阵A与B可交换且均相似于对角矩阵,则他们可以同时对角化(存在可逆方阵P使得同为对角形)
华北电力大学2008年硕士研究生入学考试试题
一完成下列各题
1. 设A是正交矩阵,则det(A)= ;A的特征值= 。
2. 矩阵的初等因子组为,若当标准形为。
3. 向量组
生成的线性子空间的一个基是,维数是。
= ,夹角的余弦= 。
二判断下列方程组的解的存在性,有解时求出其解。
三
验证向量:线性无关;
求出的一个向量,使它和以上两个向量一起构成的一个基;
从出发构造的一组标准正交基;
写出到的变换矩阵。
,把下列二次型转化为标准型。
五
求方程的所有有理根;
试隔离方程的实根。
六设矩阵
i k
其中,,矩阵中没有标出的元素均为零。
证明为正交矩阵。
证明:任意的,存在使,其中。
设,利用的性质求证正交矩阵Q和上三角矩阵R使A=QR。
设A=QR,B=RQ,Q和R如上所述,证明A与B相似。
华北电力大学2007年研究生入学试题
计算下列行列式
(1) (2)
,把二次型
化为标准型。
4. 设是互不相同的数,令
,,,证明:任意n维向量可以由线性表示。
设A是n阶方阵,f(x)是复系数多项式,证明:如果A的全部特征值为,则f(A)的全部特征值为。
设f(x)是代数多项式,a是的一个k重根,证明:a是
的一个k+3重根。
设T是欧几里得空间V的一个变换。证明:如果T保持内积不变,即任意的,,那么T一定是正交变换。
设A,B为两个n阶方阵,证明:AX=B有解的充要条件是rank(A)=rank(A B).注:(A B)是由矩阵A,B构成的增广矩阵。
设,证明I+A可逆,并求。注I为单位矩阵。
证明:秩等于r的对称矩阵可以表示为r个秩等于1的对称矩阵之和。
华北电力大学2005年硕士研究生入学试题
用g(x)除f(x),求商q(x)和余式r(x):
,
给出一个实数域R上的线性空间V的实例,并在V上定义一个内积使其成为欧几里得空间。
已知多项式有实根,求f(x)的全部根。
证明方程组
有解的充要条件是,并在有解的情况下求出它的一般解。
求由向量生成的子空间的基和维数。
设,求。
设方阵A、B是两个n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,证明存在n阶实可逆矩阵P使得同为对角矩阵。
华北电力大学2004年硕士研究生入学考试试题
一填空题
,,则(f(x),g(x))= 。
。
,则,这里的为元素的代数余子式。
4. 在中定义的线性变换,在基下的矩阵为。
,令,则D的值域是,核是。
。则与的关系
,,则。
,则A的特征值为。
,则R(A)与的关系是。
,则的元素均为整数的充要条件为= 。
二计算题
求的值。
三计算题求向量
的秩及一个最大无关组。
四计算题
设,,,求矩阵A满足关系式,求。
五计算题设的两组基为(1);(2)
,求到的过度矩阵Q,并求在基下的坐标。
六计算题讨论取何值时线性方程组
无解,有解,有唯一解。
七计算题用正交变换化下列二次型为标准型,并写出所用的正交变换
八证明题
已知是一个齐次线性方程组的基础解系,证明:也是该齐次线性方程组的一个基础解系。
设是空间中四点(i=1,2,3,4)
R(A)=r,求证:(1)r=3则四点共面;(2)r=2则四点共线;(3)r=1则四点重合
数学分析真题
华北电力大学2006年硕士研究生入学试题
一填空
,则=
(x)的原函数为sinx/x,则=
4.=