文档介绍：第五章相似矩阵及二次型
向量的内积、长度及正交性
1
方阵的特征值与特征向量
2
相似矩阵
3
对称矩阵的对角化
4
相似矩阵及二次型
二次型及其标准型
5
正定二次型
6
内
容
概
要
方阵的特征值和特征向量

方阵的特征值和特征向量
教学要求
1、理解矩阵特征值和特征向量的概念;
2、会求矩阵的特征值和特征向量;
3、掌握有关矩阵特征值和特征向量的性质。
方阵的特征值和特征向量
特征值和特征向量
的几何意义
引例
设图5-1显示Au和Av
的图像,事实上,Av正好是2v,因此,Av仅仅是“拉
伸”了向量v。
x
Av
x
Au
u
v
图5-1 乘以 A 的作用
这一节,我们将研究形如 Ax=2x 或 Ax=-4x 的方程,
并且去寻找那些被 A变换成自身一个数量倍的向量。
方阵的特征值和特征向量
设A为n 阶矩阵,若数和非零向量 p 满足
Ap= p,则称为 A 的一个特征值,
称 p为A的属于(对应于) 的一个特征向量。
一特征值和特征向量的定义
定义
1、特征值可以为 0,特征向量必须是非零向量;
注意
2、Ap= p,即App=0,或者p  Ap =0
(E A)p =0;
3、称为 A的特征多项式
称为 A的特征方程。
方阵的特征值和特征向量
(1) 计算A 的特征多项式
(2) 求出特征方程的全部根,即得 A 的全部
(3) 对每个特征值,求出方程组的基础
特征值;
解系,即得所对应的线性无关特征向量。
此时,A的属于的全部特征向量为
其中是不全为零的任意常数。
注意:1、对应于同一个特征值的特征向量一定有无穷多个;
方法一
二特征值和特征向量的计算
2. 上、下三角阵及对角阵的特征值就是它们对角线上的
元素。
方阵的特征值和特征向量
全部特征向量。
所以A的特征值为:2,1,1。(1称为2重特征值)
2对应的全部特征向量为方程
例1 求方阵的特征值及其对应的
解:
二特征值和特征向量的计算
的非零解:k(0,0,1)T,k  0;
1对应的全部特征向量为方程
的非零解:k(-1,-2,1)T,k  0;
方阵的特征值和特征向量
求 A 的特征值。
k=3
根据定义来求矩阵的特征值和特征向量。
例2 设有一个特征向量为
解: ,由对应元素相等得
方法二
二特征值和特征向量的计算
再求A的特征值为1,3,4。
方阵的特征值和特征向量
方法一多用于求具体矩阵的特征值与特征向量;
方法二多用于求抽象矩阵的特征值与特征向量。
是 Ax =0的解,求 A 的特征值。
解:A 的特征值是-3,1/2,0。
例3 设 A 为 3 阶方阵,已知
注意
二特征值和特征向量的计算
问题知多少
问题1:矩阵特征值和特征向量的定义?
问题2:怎样求矩阵特征值和特征向量?
方阵的特征值和特征向量

方阵的特征值和特征向量
教学要求
1、理解矩阵特征值和特征向量的概念;
2、会求矩阵的特征值和特征向量;
3、掌握有关矩阵特征值和特征向量的性质。
方阵的特征值和特征向量
设为n阶方阵A的全部特征值,则:
阶方阵A可逆的充要条件为A的所有特征值都
不为零。
(1)
(2)
注:(A)称为A 的迹,定义
性质一
三特征值和特征向量的性质