文档介绍：新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
《导数的几何意义》
先来复****导数的概念
定义:设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:
瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
是函数f(x)在以x0与x0+Δx
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
下面来看导数的几何意义:
β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
斜率!
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.