文档介绍：错解剖析得真知(一)
第一章集合与常用逻辑用语
§ 集合的概念与运算
一、知识导学
:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.
:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若则),则称
集合A为集合B的子集,记为AB或BA;如果AB,并且AB,这时集合A称为集合B的真子集,记为AB或BA.
:如果集合A、B同时满足AB、BA,则A=B.
:设AS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记
为.
:如果集合S包含所要研究的各个集合,这时S可以看做一个全集,全集通常
记作U.
:一般地,由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合,称为A与B的交集,
记作AB.
:一般地,由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合,称为A与B的并
集,记作AB.
:不含任何元素的集合称为空集,记作.
:含有有限个元素的集合称为有限集.
:含有无限个元素的集合称为无限集.
:列举法、描述法、图示法(Venn图).
:自然数集记作N,正整数集记作N+或N,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.
二、疑难知识导析
,,,,=,表示集合与集合之间的关系,其中“”包括“”和“=”两种情况,同样“”包括“”和“=”,.
,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
.
,即元素指什么,(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式中,B=易漏掉的情况.
,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之.
,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.
、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.
、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.
:,所有真子集个数为:-1
三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2+1,x∈R},N={y|y =x+1,x∈R},则M∩N=( )
A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}
C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1}
错解:求M∩N及解方程组得或∴选B
错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,、N的元素是数而不是实数对(x,y),因此M、N是数集而不是点集,
M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.
正解:M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D.
注:集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.
[例2] 已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
错解:由x2-3x+2=0得x=1或2.
当x=1时,a=2, 当x=2时,a=1.
错因:上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B=时,仍满足A∪B=A.
当a=0时,B=,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.
正解:∵A∪B=A ∴BA 又A={x|x2-3x+2=0}={1,2}
∴B=或∴C={0,1,2}
[例3]已知mA,nB, 且集合A=,B=,又C=,则有: ( )
+nA B. m+nB +nC D. m+n不属于A,B,C中任意一个
错解:∵mA,∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解:∵mA, ∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m