文档介绍：巧用“f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x”解有关反函数题
云南省保山曙光学校周世喜
反函数是函数中的一个重要的知识点,掌握反函数的概念,求反函数是高考中必考的内容。但求反函数有时又是比较复杂的,若在实际答题过程中巧用反函数的性质,可收到事半功倍的效果,达到快而准的目的。
[性质]若y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为C。则有f[f-1(x)]=x (x∈C), f-1[f(x)]=x (x∈A)成立。
下面通过几道例题介绍该性质的应用:
=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1,求f(1).
分析:(方法一)先求出函数y=f(x)的解析式,再代值求解。
(方法二)根据原函数和反函数的关系,列出等式:2x+1=1,解之即得f(1)的值。
(方法三)利用性质来解。令f(1)=x ,由此可得:f -1[f(1)]=f -1(x) ⇒2x+1=1⇒x=-1
当然‘方法二’与‘方法三’实质上是一致的,但我认为‘方法三’学生更能理解掌握。
y=f(x)在定义域(-∞,0)内存在反函数,且f(x+1)=x2--1()
分析:(方法一)由f(x+1)=x2-2x⇒f(x-1)=(x-1)2-1 所以f(x)=x2-1 x∈(-∞,0),再求出其反函数f-1(x)=,故f-1()=。
(方法二)由f(x+1)=x2-2x⇒f(x-1)=(x-1)2-1 所以f(x)=x2-1 x∈(-∞,0),再令f-1()=x
⇒f[f-1()]=f(x)
⇒=f(x)
⇒x2-1=
⇒x2=
⇒x=
例3. 已知函数f(x)=的反函数为f-1(x),解不等式f-1(x)>1
解:(用性质来解)∵函数f(x)在其定义域(-∞,+∞)上是增函数
∴f[f-1(x)]>f(1)
∴x>f(1)
∴x>
∴x>
(x)=的反函数为f-1(x),解不等式f-1(x)< m (其中m∈R)
解:(用性质来解)∵函数f(x)在其定义域(-1,+1)上是增函数
∴①当-1<m<1时,有
f[f-1(x)]< f(m)
⇒x<
②当m≤-1时,
∵-1<f-1(x)<1
∴不等式无解