文档介绍：第06讲:函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
【考纲要求】
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。
【基础知识】
区间具有严格的单调性,区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。
3、判断证明函数单调性的一般方法:单调四法,导数定义复合图像
(1)定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);④判断的正负符号;⑤根据函数单调性的定义下结论。
(2)复合函数分析法
设,,都是单调函数,则在上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表:
设在某个区间内有导数,若在区间内,总有,则在区间上为增函数(减函数)。
(4)图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图,如果函数的图像,在某个区间,从左到右,逐渐上升,则函数在这个区间是增函数;如果从左到右,是逐渐下降,则函数是减函数。
4、求函数的单调区间:单调四法,导数定义复合图像
(1)定义法
(2)复合函数法
先求函数的定义域,再分解复合函数,再判断每一个内层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。
(3)导数法
在其对称区间上的单调性相减,如函数。
(2)在公共的定义域内,增函数+增函数是增函数,减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数,函数和函数都是增函数,但是它们的乘积函数不是增函数。
(3)求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
(4)单调区间必须用区间来表示,不能用集合或不等式,单调区间一般写成开区间,不必考虑端点问题。
(5)在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接,只能用逗号隔开。
【方法讲评】
证明函数在区间是增函数。
解:设,
函数在区间是增函数。
例2 求函数的单调区间.[来源:学科网]
解:∵函数的定义域为{x|x∈R,且x≠0},设x1、x2≠0,且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
(1)当x1<x2≤-a或a≤x1<x2时,
x1-x2<0,x1·x2>a2,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,-a]上和在[a,+∞)上都是增函数.
(2)当-a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时,x1-x2<0,
0<x1·x2<a2,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在[-a,0)和(0,a]上都是减函数.
例3 已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意,都有,且当时,
(1)求证是偶函数;(2)在上时增函数;(3)解不等式
解:
【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数,且,若时,有。(1)解不等式(2)若对所有恒成立,求实数的取值范围。
例4 已知函数
(I)讨论函数的单调性;
(II),,求的取值范围。
解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞). .
当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;
当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;
当-1<<0时,令=0,解得.
则当时,>0;时,<0.
故在单调增加,在单调减少.
(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而
,
等价于, ①
令,则
①等价于在(0,+∞)单调减少,即
.
从而
故a的取值范围为(-∞,-2].
(Ⅰ)当时,讨论的单调性;
(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使
,求实数取值范围.
例5 设函数,,求函数的单调区间与极值。
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。
【变式演练4】某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处,已知AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为km.
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO=(rad),将表示成的函数关系式;
②设OP(km) ,将表示成x的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
例6(1)求函数的单调区间;
(2)已知若试确定的单调区间和单调性。
解:(1)函数的定义域为,
设,
在上分别是单调递减和单调递增的,在上是单调递减的,根据复合函数的单调性得函