文档介绍：第一章知识点
1. 表示方法:表示元素的代数余子式;
表示元素的余子式。
其中是行列式第i行第j列的元素。
二者关系:
2. 代数余子式和余子式的求法
例:对于行列式,求和
解:表示的代数余子式,表示的余子式,划去所在的第二行和第三列上的所有元素,剩下的元素组成的行列式即为的余子式
根据代数余子式和余子式的关系可知
性质1:转置不改变行列式的值。
比如(两个行列式互为转置)
性质2:交换行列式中两行(列),行列式变号。
比如(交换了第一行和第二行)
推论1:若行列式中有两行(列)完全相同,则行列式的值为0
比如(第二行和第三行完全相同)
性质3:行列式某行(列)上的公因子可提到行列式之外,或者说用某数乘行列式某行的所有元素,等于用该数乘该行列式。
比如:(第二行上的公因子2提到了行列式之外)
推论2:若行列式某行(列)全为0,或者某两行(列)成比例,则该行列式为0
比如:(第一行全为0)
(第二行和第三行对应成比例)
性质4:若行列式中某行(列)每个元素都是两个数之和,则可按该行(列)将行列式分裂为两个行列式之和
比如:
性质5:将行列式中某行(列)的每个元素都加上另一行(列)对应元素的k倍,行列式的值不变。
比如:(相当于将左边行列式中第一行的元素都可以2倍加到第3行,行列式的值不变。)
性质6:行列式任一行(列)上所有元素与它的代数余子式的乘积之和等于行列式的值;而任一行(列)上所有元素与另一行(列)对应元素代数余子式的乘积之和等于0
比如:
行列式的计算方法
1. 对角线法则,此法只能用于2阶和3阶的行列式
2. 化成三角形行列式(一般我们化成上三角形行列式)
克拉默法则
该法则只能在方程的个数等于未知数个数,且方程组系数行列式不等于0的条件下才能用,切记!!!
建议大家在方程的个数=未知数的个数=2或者=3的时候用,因为此时系数行列式是2阶或者3阶行列式,比较容易计算,一旦阶数高了就不要选择克拉默法则了。
知识点
矩阵
1. 一般的矩阵记为矩阵,表示该矩阵的行数为m行,列数为n列,比如矩阵就是一个矩阵,有2行3列。如果一个矩阵的行数和列数相同,则称为方阵,比如,记为2阶方阵。
2. 矩阵常用大写英文字母表示,比如或者
矩阵与行列式的区别:首先,矩阵外面是“()”,行列式外面是“| |”;其次,矩阵的行数和列数可以不同,但行列式的行数和列数一定相同;最后,矩阵是一个数表,而行列式是一个算式,算出来等于一个数。
4. 几种特殊矩阵,尤其注意单位阵不是唯一的,零矩阵也不是唯一的,见书P34-35,比如
(2阶单位阵)
(3阶单位阵)
零矩阵的情况类似。
矩阵的运算
1. 矩阵的加法、减法
矩阵在作加法和减法时,一定要满足同型,即相加或相减的矩阵具有相同的行数和列数。相加时,对应位置上的元素相加;相减时,对应位置上的元素相减。
2. 矩阵的数乘
3. 矩阵的乘法
矩阵在作乘法时,一定要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,否则,不能相乘。得到的新矩阵行数由第一个矩阵的行数决定,列数由第二个矩阵的列数决定。
4. 矩阵是没有除法的。
矩阵满足的运算规律
1. 数乘结合律(k是一个数)
2. 分配律
3. 乘法结合律
但请注意,矩阵的乘法不满足交换律,即
4. 单位阵E乘以任何矩阵都等于该矩阵,即,但中的单位矩阵E不是同一个,除非A是方阵,比如
而
从此例看出,两个式子中的单位阵根本就不是同一个单位阵。
5. 方阵才有幂,方阵的幂记为,其中m是正整数,且有
但
、对称、反对称、行列式
1. 矩阵A的转置记为,求矩阵的转置时,只需将第i行第j列的元素换到第j行第i列,即
,
关于转置的几个公式易考:
2. 当时,矩阵A称为对称矩阵;当时,矩阵A称为反对称矩阵。
或者说当时,矩阵A称为对称矩阵;当时,矩阵A称为反对称矩阵。
对称矩阵从直观上很好判断,即对应位置上的元素都是关于住主对角线对称的,如:
3. 只有方阵才有行列式,方阵的行列式就是将方阵外的‘()’换成‘| |’,即
关于方阵的行列式记住以下几个:
例:若已知方阵A和B满足,则可知
所以,,且
逆矩阵
1. 方阵才有逆矩阵,一般矩阵没有逆矩阵,方阵A的逆矩阵记为
2. 判断矩阵是否有逆矩阵(即是否可逆)一般有如下几种方法:
(1)根据定义,,只要满足,则称方阵A可逆,且逆矩阵就为B
注