文档介绍：第三节三角函数的图象与性质
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
递增区间:
k∈Z,
递减区间:
k∈Z
递增区间:
[2kπ-π,2kπ]
k∈Z,
递减区间:
[2kπ,2kπ+π]
k∈Z
递增区间
(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ,0)k∈Z
对称中心
k∈Z
对称中心
k∈Z
对称轴x=kπ+(k∈Z)
对称轴x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( )
(2)函数y=sin x的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(4)y=sin |x|是偶函数.( )
[答案] (1)√(2)√(3)× (4)√
(x)=cos的图象关于( )
=对称 =-对称
A [函数f(x)=cos=-sin 2x是奇函数,则图象关于原点对称,故选A.]
=tan 2x的定义域是( )
A. B.
C. D.
D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan 2x的定义域为.]
4.(2017·绍兴模拟(一))函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是( )
A.
C. D.
C [令z=x+,函数y=sin z的单调递增区间为(k∈Z),由2kπ-≤x+≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ+,而x∈[-2π,2π],故其单调递增区间是,故选C.]
5.(教材改编)函数f(x)=4-2cos x的最小值是________,取得最小值时,x的取值集合为________.
2 {x|x=6kπ,k∈Z} [f(x)min=4-2=2,此时,x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}.]
三角函数的定义域与值域
(1)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为( )
(2)函数y=lg(sin 2x)+的定义域为________. 【导学号:51062103】
(1)B (2)∪[(1)∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x
=1-2sin2x+6sin x=-22+,
又sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,f(x).
(2)由得
∴-3≤x<-或0<x<,
∴函数y=lg(sin 2x)+的定义域为∪.]
[规律方法]
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
(2)化一法:把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x换成t,转化为二次函数求解.
[变式训练1] (1)已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )
C.+2 -
(2)求函数y=cos2x+sin x的最大值与最小值.
(1)B [∵x∈,∴cos x∈,故y=2cos x的值域为[-2,1],
∴b-a=3.]
(2)令t=sin x,∵|x|≤,∴t∈,3分
∴y=-t2+t+1=-2+,
∴当t=时,ymax=,当t=-时,ymin=,7分
∴函数y=cos2x+sin x的最大值为,
三角函数的单调性
(1)(2017·杭州学军中学)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,2]
(2)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(1)A (2)(k∈Z) [(1)由<x<π得ω+<ωx+<πω+,由题