D2.7 矩阵的秩.ppt

文档介绍：对矩阵施行的以下三种变换
(1)互换矩阵的某两行(列)
(2)用一非零数乘与矩阵的某一行(列)
(3)将矩阵的某一行(列)各元素的k倍
加到另一行(列)对应元素上。
均称为矩阵的初等变换。
初等行变换
初等列变换
§ 矩阵的秩
§ 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
中,任取行列
在
矩阵
位于这些行与列交叉处的
个元素,依照它们在
中的位置次序不变而得的
阶行列式,称为矩阵
的一个
定义
阶子式.
矩阵共有个阶子式.
最低阶为阶,
最高阶为阶.
例:矩阵
取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素,
二阶子式是
组成的
的最高阶子式是3阶,共有4个3阶子式.
易见
设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式都
为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它
至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二阶子式,
如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察三阶子式,
依此类推, 最后必达到A中有r阶子式不为零, 而再
没有比r更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式
的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的重要特性, 在矩阵
的理论与应用中都有重要意义.
A中有二阶子式
但它的任何三阶子式皆为零, 即不为零的子式最高阶数r=2.
例如
2、矩阵的秩
定义
设A为m×n矩阵,如果存在A的r阶子式不为零,
而任何r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则
称数r为矩阵A的秩,记为r(A)或R(A).
规定,零矩阵的秩为零.
性质
1)若矩阵A中有某个s阶子式不为零,则r(A)不小于s;
3)A为m×n矩阵,则
2)若矩阵A中所有的t阶子式全为零,则r(A)小于t;
4)
定义当
时,称矩阵A为满秩矩阵,
否则称为降秩矩阵.
行满秩矩阵
列满秩矩阵
如
注:若n阶方阵A可逆的充要条件为A为满秩.
A,B,C都是满秩矩阵
定理矩阵经初等变换后, 其秩不变.
证: 仅考察经一次初等变换的情形.设矩阵经初等变换变为, 且
当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时,
矩阵B中任何阶子式等于某一非零数c与A的某个
阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何
阶子式皆为零, 因此B的任何阶子式也都为零.
当对A施以第i行乘l后加于第j行的变换时, 矩阵B的任意一个r1+1阶子式|B1|, 如果它不含B的第j行或既含B的第i行又含第j行, 则它即等于A的一个r1+1阶子式; 如果|B1|含B的第j行但不含第i行时, 则|B1|=|A1|l|A2|, 其中A1,A2是A中的两个r1+1阶子式. 由A的任何r1+1阶子式均为零, 可知B的每一个r1+1阶子式也全为零.