文档介绍：关于圆与方程的知识点整理
一、标准方程
——关键是求出圆心和半径
①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交
相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理
(无需记,关键能理解)
条件方程形式
圆心在原点
过原点
圆心在轴上
圆心在轴上
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
与轴相切
与轴相切
与两坐标轴都相切
二、一般方程
:如教材例4
三、点与圆的位置关系
:点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内;点在圆上;点在圆外
:
(1)圆外一点,圆上一动点,讨论的最值
(2)圆内一点,圆上一动点,讨论的最值
思考:过此点作最短的弦?(此弦垂直)
四、直线与圆的位置关系
(为圆心到直线的距离)
(1)相离没有公共点
(2)相切只有一个公共点
(3)相交有两个公共点
这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
(1)知识要点
①基本图形
②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等
问题:直线与圆相切意味着什么?
圆心到直线的距离恰好等于半径
(2)常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i)点在圆外
如定点,圆:,[]
第一步:设切线方程
第二步:通过,从而得到切线方程
特别注意:以上解题步骤仅对存在有效,当不存在时,应补上——千万不要漏了!
如:过点作圆的切线,求切线方程.
答案:和
ii)点在圆上
若点在圆上,则切线方程为
会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.
若点在圆上,则切线方程为
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.
由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数.
③求切线长:利用基本图形,
求切点坐标:利用两个关系列出两个方程
(1)求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
弦长公式:(暂作了解,无需掌握)
(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
例:若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1,则半径的取值范围是_________________. 答案:
会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)
五、对称问题
,关于直线,则实数的值为____.
答案:3(注意:时,,故舍去)
变式:已知点是圆:上任意一点,点关于直线的对称点在圆上,则实数_________.
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变式:已知圆:与圆:关于直线对称,则直线的方程为_______________.
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