文档介绍：三角形四心
:三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示,它具有如下性质:
(1)外心到三顶点等距,即OA=OB=OC。
(2)∠A=。
:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示,它具有如下性质:
(1)内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。
(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,则D与
顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。
(3)∠BIC=90º+∠A,∠CIA=90+∠B,∠AIB=90º+∠C。
:三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。△ABC的垂心一般用字母H 表示,它具有如下的性质:
(1)顶点与垂心连线必垂直对边,即AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。
(2)若H在△ABC内,且AH、BH、CH分别与对边相交于
D、E、F,则A、F、H、E;B、D、H、F;C、E、H、D;
B、C、E、F;C、A、F、D;A、B、D、E共六组四点共圆。
(3)△ABH的垂心为C,△BHC的垂心为A,△ACH的垂心为B。
(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
:三角形三条中线的交点叫三角形的重心。△ABC的重心一般用字母G表示,它有如下的性质:
(1)顶点与重心G的连线必平分对边。
(2)重心定理:三角形重心与顶点的距离等于
它与对边中点的距离的2倍。
(3)。
练分线的交点叫做三角形的心;三个角的平分线的交点叫做三角形的心;三条中线的交点叫做三角形的心;三条高线的交点叫做三角形的心。
2、在△ABC中,∠A=40º,为△ABC的内心,则∠BOC= 度。
3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的倍。
4、已知三角形三边长分别为3、4、5,则其内切圆半径为。
5、设△ABC的垂心为H,则∠BHC+∠BAC= 度。
6.△ ABC的三条中线AD,BE,CF的长分别是5,12,13,求△ABC的面积。
,△ABC中,AD为BC边的高线,点O为△ABC的外心,求证:∠BAO=∠DAC。
8. 如图9,△ABC中,∠A=2∠B,由顶点C作∠A的平分线AD的垂线CF,垂足为F,求证:CF经过△ABC的外心。
,△ABC的垂心H,若垂足三角形DEF的外接圆和HC的交点为G,求证:HG=CG。
-2所示,在△ABC的大边AB上取AN=AC,BM=BC,点P为△ABC 的内心,求证:∠MPN=∠A+∠B。
11. 如图12,过△ABC的重心G引直线XY,使A与B、C在XY的异侧,从顶点A、B、C向这条直线作垂线,设垂足分别为,求证:。
,已知△ABC的内心为I,△BCI的外心为D,求证:A、B、C、D四点共圆。
【练习答案】
基础练习:,内心,重心,垂;;3. 2; ;
;
△ABC的外接圆,令∠A的平分线和圆周的交点为D,若由C作AD的垂线和圆周交于E,和AD交于F,
∴∠AFC=90º,
∴易证=半圆周。
∵AD为∠BAC的平分线,∠B=∠BAC
∴
∴=半圆周