文档介绍：高一数学第三章数列同步辅导讲义
第9讲数列和等差数列
一、本讲主要内容
数列的概念,数列的通项公式,由递推公式给出数列。
等差数列的概念和通项公式,等差中项的概念。
二、学****指导
要正确理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并会根据递推公式写出数列的前若干项。
数列是按一定顺序排列起来的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射;从映射函数的观点来看,数列是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,……,n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。用函数观点看待数列,有助于加深对数列概念和性质的理解。
数列的数是按一定顺序排列的。如果组成两个数列的数相同而顺序不同,那么它们是不同的数列,如课本上堆放钢管的实例,自上而下的每层钢管数组成数列:4,5,6,7,8,9,10。与自下而上的每层钢管数组成的数列:10,9,8,7,6,5,4。是两个不同的数列。
要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序,而且并没有规定必须不同,即同一个数在数列中是可以重复出现的,常数数列甚至都是由同一个数排成的数列,如,1,1,1,……。而数集中的数是无序的,并且是互异的。
数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式,那么只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的各项。
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键是根据各项的特点,它与序号的关系,找出各项共同的构成规律得出通项公式。
并不是每个数列都是有通项公式的,如π精确到1,,,,……的不足近似值构成的数列就没有通项公式。
一个数列的通项公式可以有不同的形式,如数列 -1,1,-1,1,……的通项公式可以写成an=(-1) n,也可以写成
1 (n=2k-1,k∈N+)
an=
-1 (n=2k,k∈N+)
它们形式不同,但实质是一样的.
与表示函数有列表法、图象法一样,数列也可以列表表示或用图象表示。利用列表法表示的数列,内容具体,方法简单,缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。图象法表示的数列直观但不精确。
数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法,但限于学****要求,只需了解这种方法,能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。
,掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,并能用于解决一些简单的问题。
课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。对于等差数列{an}有an+1-an=d(n∈N+),-an-1=d,an-1-an-2=d,……,a2-a1=d,将这 n-1个式子相加,得an-a1=(n-1)d,即 an=a1+(n-1)d,这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法,是解决数列问题的有效方法之一。
等差数列的通项公式在课本上是由定义,通过不完全归纳法得出的,这种推导过程要引起重视,它是培养观察分析,归纳总结能力的重要途径。
根据等差数列的定义,一个等差数列至少有三项。如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=,(A也叫a,b的算术平均值)。容易知道,一个等差数列中,除首末(如果有末项的话)两项外,任何一项都是相邻两项的等差中项,并且进而可知,任何一项都是前后与它等距两项的等差中项,即,(n,k∈N+,且 n>k).
等差数列有如下一些性质:
设数列{an}是公差为d的等差数列,那么an=am+(n-m)d (m,n∈N+)
设数列{an}是等差数列,如果m,n,k,∈N+,且 m+n=k+,那么 am+ an=ak+
等差数列中,序号成等差数列的项也成等差数列.
设数列{an}和{bn}都是等差数列,那么数列{λan+μbn}(λ,μ为常数),也是等差数列.
以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明,读者不妨一试.
分别写出下列数列的一个通项公式:
(1)……
(2)……
(3)5,55,555,5555,……
(4)……
解题思路分析:
数列各项的绝对值可以分成整数,分数的分子和分母三部分,再分别考察各部分,加上变换正负号的(-1)n得an=(-1)n[(2n-1)+]
将这数列前4项改写成,可得通项公式an=(-1)n+1
由于9,99,999,9999,……的通项公式是10n-1所以将题中数列各项改写后,可得通项公式an=(10n-1)
原数列可写成:……得通项公式为an=
数列{an}中,a1=1, 对所有的n≥2都有…an=n2;
求a3+a5;
是这数列中的项吗?
解题思路分析