文档介绍：高等数学复****题
第一章一元函数微积分概要
①.
②.
③.
④.
⑤.
⑥.
2. 试解下列各题
①. 设, 求,,
解:
②. 设, 求
解:
④. 设,求及在点处的切线与法线方程.
解: 两边对求导:
切线斜率,则法线斜率
切线方程为(),法线方程为
⑤. 设,求.
解:
⑥. 求函数的单调区间与极值.
解:令则或
3
+
0
_
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
3. 求下列各积分
①
②
③
④
⑤
解:设,,当时, ;当时,
⑥=
⑦
⑧
解:, ;当时,
⑨
⑩,其中
解:
第二章微分方程
①
解:分离变量: 两边积分:
②
解:分离变量: 两边积分: ,
代入初始条件得: .特解为
③
解:.代入通解公式得:
④
解: ,
代入通解公式得:
代入初始条件得: 特解为
⑤
解:,设代入方程
分离变量两边积分:
,, 通解为
⑥
解:.设代入方程
分离变量,
通解为
2. 求下列二阶微分方程的通解或特解
①
解:
②
解:令则代入方程;
分离变量, 并两边积分: . 代入得
即, ,代入得
特解为
③
解:特征方程为, 通解为
代入得: 代入得:
特解为
④
解: 特征方程为,
又因,则为特征单根
特解, ,
代入方程得: 即得解得:
特解为原方程通解为
⑤
解:特征方程为,,对应齐次方程的通解为.
则不是特征方程的根. 则特解,
代入方程
即
解得所以特解为
所以原方程的通解为
⑥
解:对应的齐次方程的特征方程为,,通解为.
,则故
不是特征方程的根. 故,,
代入方程
即解得:
所以原方程的通解为
解:对应的齐次方程的特征方程为: ,.
,,.则为特征单根
,
代入方程得:
即,,
所以原方程的通解为:
代入初始条件解得
所以该初值问题的解为
4. 设为连续函数, 且满足方程求
解:两边求导得:即
. 由通解公式:
5. 设某曲线上各点的法线都通过,求此曲线方程.
解:设为曲线上任意一点,则在点的法线方程为
是法线上的动坐标. 法线通过点,
.分离变量,并积分得
即
6. 设某曲线经过点且在此点与直线相切,并满足方程,求此曲线的方程
解:. .
.曲线经过.
所以该曲线的方程为
7. 设质量为的质点从液面由静止开始在液体中下降,假定液体的阻力与速度成正比,试求质点下降时的位移与时间的函数关系.
解:由牛二定律得方程: 分离变量,并积分得
,故,得
第三章空间解析几何与向量代数
1. 试解下列各题
①设向量,求、及的方向余弦;
解:
的方向余弦
②已知三点,求同时垂直于的单位向量,及三角形的面积.
解:
所以同时垂直于的单位向量为和
③已知向量与之间的夹角为,求以为领边的平行四边形的对角线的长;
解:(自己作下图。) 一条对角线长为,
④已知向量相互垂直,求的值
解: 即
3. 求下列各平面方程
①过点,且与平面平行
解:
②过点,且与直线垂直
解:
③过轴和点
解:因平面过轴, 所以可设平面方程为
代入点得,故代回方程消去得
④过点和直线
解:点和直线上取一点..
所以所求平面的方程为即
4. 求下列直线方程
①用点向式与参数式方程表示直线
解:设,代入直线的方程组得解得:于是直线上一点为
直线的方向向量
所以直线的点向式方程为
参数式方程为
②求过点,且与平面和均平行
解:直线的方向向量
所以所求直线方程为
③求过点,且和直线垂直相交
解:在直线上取一点。则
同时垂直于直线和的直线的方向向量=。
所求直线的方向向量为
所以直线方程为
解:由点到平面的距离公式
6. 求点在平面上的投影点的坐标
解:过点作垂直于平面的直线,交点即为投影点. 该直线的方向向量