文档介绍：第一章矢量与坐标
§ 矢量的概念
?
(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点;
(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;
(3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点;
(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]:(1)单位球面; (2)单位圆
A F

B E
C

(3)直线; (4)相距为2的两点
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心,
在矢量、、、、、
O
、、、、、
和中,哪些矢量是相等的?
[解]:如图1-1,在正六边形ABCDEF中,
相等的矢量对是: 图1-1

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、
DA的中点,求证:=. 当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立?
[证明]:如图1-2,连结AC, 则在DBAC中, KLAC. 与方向相同;在DDAC中,NMAC. 与方向相同,从而KL=NM且与方向相同,所以=.

4. 如图1-3,设ABCD-EFGH是一个平行六面体,在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量:
图1—3
(1) 、; (2) 、; (3) 、;
(4) 、; (5) 、.
[解]:相等的矢量对是(2)、(3)和(5);
互为反矢量的矢量对是(1)和(4)。
§ 矢量的加法
,矢量应满足什么条件?
(1) (2)
(3) (4)
(5)
[解]:(1)所在的直线垂直时有;
(2)同向时有
(3)且反向时有
(4)反向时有
(5)同向,且时有
§ 数量乘矢量
1 试解下列各题.
⑴化简.
⑵已知,,求,和.
⑶从矢量方程组,解出矢量,.
解⑴
⑵,
,
.
2 已知四边形中,,,对角线、的中点分别为、,求.
解.
3 设,,,证明:、、三点共线.
证明∵
∴与共线,又∵为公共点,从而、、三点共线.
4 在四边形中,,,,证明为梯形.
证明∵
∴∥,∴为梯形.
6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点,证明:三中线矢量, , 可以构成一个三角形.
[证明]:

从而三中线矢量构成一个三角形。
7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点,O是任意一点,证明
+=++.
[证明]

=
由上题结论知:

8. 如图1-5,设M是平行四边形ABCD的中心,O是任意一点,证明
+++=4.
图1-5
[证明]:因为=(+), =(+),
所以 2=(+++)
所以
+++=4.
9 在平行六面体(参看第一节第4题图)中,证明.
证明.
10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.
证明已知梯形,两腰中点分别为、,连接、.
,
,∴,即
,故平行且等于.

11. 用矢量法证明,平行四边行的对角线互相平分.
[证明]:如图1-4,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点
图1-4
但
由于∥∥而不平行于,
,
从而OA=OC,OB=OD。
12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心,证明:
++…+=.
[证明]:因为
+=l,
+=l,
……
+=l,
+=l,
所以 2(++…+)
=l(++…+),
所以(l-2)(++…+)=.
显然 l≠2, 即 l-2≠0.
所以++…+=.
,设P是任意点,证明:
证明:

即
§ 矢量的线性关系与矢量的分解
,
(1)设对角线求
解:.设边BC和CD的(2)中点M和N,且求。
解:

-EFGH中,设三个
面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。
证明:,
,

图1-7
3. 设一直线上三点A, B, P满足=l(l¹-1),O是空间任意一点,求证:
=
[证明]:如图1-7,因为
=-,
=-,
所以-=l (-),
(1+l)=+l,
从而=.
4. 在中,设.
设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;
(2)设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合
解:(1),
,同理
(2)因为=,
且与方向相同,
所以=.
由上题结论有
==.
,设点是的重心(三中线之交点),求矢量对于矢量
的