文档介绍：关于反证法的课堂教学研究
任朝雁张武
反证法是一种简明实用的数学证题方法,.
本文结合中学数学教师继续教育的开展,谈一谈关于反证法的课堂教学研究.
1 反证法的引入教学
任何一个新知识点的学****最佳的教学效果应该建立在学生浓厚的学****兴趣基础上,因此在引入反证法的时候,:
初一有400名学生,求证:这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的.
例2 证明不是有理数。
例3 把1600颗花生分给100只猴子,证明:不管怎样分法,至少有4只猴子得到的花生数一样多.
象这样的问题,学生经过思考后会发现,,运用反证法就能解决这一类问题,从而激发起学生学****反证法浓厚的兴趣.
2 反证法的基本思想教学
,,教师应通过一些浅显的例子让学生逐步领会.
例如,证明不是有理数。(例2)
通过引入教学后,,就有了下面的推理:
3n2=m2, (2)
故m2是3的倍数,=3k,代入(2)式,得
3n2=9k2,即n2=3k2,同样可知,
这时,可以告诉学生,这种证明方法就是反证法.
反证法简单可概括为八个字:“否定结论,寻找矛盾”.如果对原命题(真命题)否定结论后,能找到矛盾,.
3 反证法的课堂训练教学
在学生初步掌握反证法的基本思想和证明步骤后,,应注意以下两点:
加强“反设”的训练
“反设”,所以如果“反设”发生错误,“反设”,在教学中应注意:
(1)首先让学生弄清题目的条件和结论;
(2)强调“反设”是对结论的全否定.
学生在使用反证法时,“反设”的训练是非常必要的.
例如,求证:若a,b为自然数,且a·b是奇数,则a,b都是奇数.
这个题的结论是“a,b都是奇数”,它的反面应是“a,b不都是奇数”,而不是“a,b都不是奇数”.
又如,求证:若a,b,c为自然数,且a2+b2=c2,则a,b中至少有一个为偶数.
这个题的结论是“a,b中至少有一个为偶数”,其反面应是“a,b中一个偶数也没有”,即“a,b均为奇数”.
常用于命题结论中的一些语句的否定形式列表如下:
加强“归谬”的训练.
在第一步正确作出“反设”之后,第二步是“归谬”,即以“反设”为出发点,题设条件为根据,通过正确推理,.
由于反证法推出矛盾的类型很多,出现矛盾的情况又比较复杂,因此学生在进行“归谬”时,往往陷入困境,,教师应当指明推出矛盾的一些主要类型.
运用反证法推出矛盾的主要类型有以下情形:
(1)与客观事实矛盾
例1的证明:假设400名学生的生日都不相同,那么一年将有400天,这与客观实际相矛盾,故原命题成立.
(2)与公理矛盾
如果两直线都平行于第三条直线,则这两条直线也互相平行.
证明假设这两条直线不平行,:过直线外一点,.
(3)与定理矛盾
己知 A,B,C,D为平面上四点,没有三点共线,求证:总能在其中选出三点,使这三点组成的三角形至少有一个内角不大于45°.
证明假设所有三角形的内角都大于45°,分两种情形讨论.
情形1,如图1
∵∠BAC>45°,∠CAD>45°,
∴∠BAD>90°,即∠A>90°,同理,∠B>90°,∠C>90°,∠D>90°,故四边形ABCD的内角和大于360°,这与凸边形内角和定理发生矛盾.
情形2,如图2,可类似推出矛盾.
综合上述两种情况,知原命题成立.
(4)与定义矛盾
平面上有6个圆,每个圆的圆心都在其余各圆的外部,求证:平面上任何一点都不会同时在这6个圆的内部.
,假若M点在两个圆的内部,如图3,
∵△O1MO2中,O1O2为最大边,∴∠O1MO2>60°.
假若M点同时在6个圆的内部,如图4,O1,O2,…,O6为6个圆的圆心,由前面分析有
∠1>60°,∠2>60°,…,